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Auteur(s)
-
Claude ROUXEL : Enseignant au Conservatoire National des Arts et Métiers
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Lire l’articleINTRODUCTION
Les nombres complexes sont très utilisés en électricité. L’idée de base pour construire cet ensemble de nombres est d’adjoindre à l’ensemble
des réels, un nouveau nombre, noté
, dont le carré vaut (–1).
Ce nouvel ensemble de nombres est conçu de façon à :
-
conserver les règles opératoires sur les réels (associativité, commutativité, distributivité…) ;
-
tenir compte de la nouvelle règle :
= –1.
On démontre alors que les nombres complexes peuvent s’écrire, de façon unique, sous la forme dite cartésienne :
où a et b sont des réels.
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2. Nombres complexes sous forme trigonométrique
De nombreuses applications des nombres complexes, notamment en électricité, sont basées sur le fait que la multiplication par « j » peut être interprétée comme une rotation d’un angle droit ; cela nous amène à définir un autre repérage des complexes que le repérage cartésien.
2.1 Module et argument d’un nombre complexe
Étant donné un nombre complexe non nul z d’image M, on appelle (figure 4) :
-
module de z la distance OM ; on le note
;
-
argument de z, une des mesures en radian de l’angle orienté (O x,
) ; on le note Arg (z ).
Comme pour les angles, l’argument n’est défini qu’à k 2π près (modulo 2π) ; si θ est un argument de z :
où k ∊
est aussi un argument de z.
Pour z = 0, le module est nul ; l’argument n’est pas défini.
HAUT DE PAGE2.2 Forme trigonométrique d’un nombre complexe
Représenter un nombre complexe a + jb sous forme trigonométrique, c’est se donner son module ρ et un argument θ.
Les projections sur les axes fournissent alors partie réelle et partie imaginaire :
...
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