Les tenseurs et leurs applications

   1 Définitions pratiques des tenseurs

   1.1 Cadre de travail. Rappels

   1.2 Définition intrinsèque d'un tenseur d'ordre p

   1.3 Notions de bases sur Eet convention de sommation

   1.4 Représentation d'un tenseur d'ordre p sur E, dans une base {ei}

   1.5 Changement de base sur E

   1.6 Définition d'un tenseur d'ordre p sur E par le comportement de sescomposantes dans un changement de base

   1.7 Opérations sur les tenseurs et nouvelle définition intrinsèque

   2 Techniques de calcul tensoriel dans R3. Cadre cartésien

   2.1 Introduction du tenseur unité d'ordre 2 sur Rn

   2.2 Tenseur d'orientation de l'espace ou tenseur alterné fondamental

   2.3 Identités remarquables relatives à l'expression d'un déterminant

   2.4 Produit mixte et produit vectoriel. Expression du rotationnel d'un vec-teur

   2.5 Expression des composantes de l'inverse d'un tenseur d'ordre 2

   2.6 Condition nécessaire et suffisante de symétrie d'un tenseur d'ordre 2 .

   2.7 Application à l'écriture rapide de quelques identités

   3 Directions principales et valeurs propres d'un tenseur d'ordre 2.Invariants élémentaires. Application à R3

   3.1 Cas général

   3.2 Cas des tenseurs symétriques ou auto-adjoints

   4 Décompositions standards d'un tenseur du second ordre

   4.1 Décomposition en parties symétrique et antisymétrique

   4.2 Décomposition en une partie sphérique et en un déviateur

   4.3 Décomposition polaire d'un tenseur non dégénéré

   5 Applications sur l'espace des tenseurs cartésiens du secondordre

   5.1 Cas des fonctions scalaires

   5.2 Cas des fonctions à valeurs tensorielles

   5.3 Théorème fondamental des invariants

   5.4 Théorème des fonctions isotropes

   5.5 Conclusions sur les fonctions de tenseurs

   6 Notions d'analyse tensorielle. Application au cadre cartésien

   6.1 Champ de tenseurs. Différentielle, gradient et divergence d'un champde tenseurs

   6.2 Tenseur gradient d'un champ de vecteurs

   6.3 Champ de moments

   6.4 Partie paire d'un champ de gradients. Relations de compatibilité

   7 Notions pratiques sur les tenseurs non cartésiens

   7.1 Tenseurs liés à des surfaces quelconques

   7.2 Coordonnées curvilignes orthogonales. Généralités

   7.3 Application des notions précédentes aux coordonnées cylindriques

   7.4 Application des notions précédentes aux coordonnées sphériques

   7.5 Remarque

   8 Les tenseurs dans les applications

   8.1 Le tenseur des contraintes de Cauchy en mécanique

   8.2 Les tenseurs des déformations et des vitesses de déformation en mé-canique

   8.3 Traduction des lois de comportement linéaires en physique

   8.4 Traduction des lois de comportement isotropes en physique

   8.5 Intégration d'un champ de déplacements

   8.6 Théorème de la divergence généralisée

   8.7 Exemples d'applications des tenseurs non cartésiens

   8.8 Compromis éventuels entre les coordonnées cartésiennes et les coor-données curvilignes orthogonales

   Bibliographie