Commande optimale

Le problème général de la détermination d’une commande optimale d’un processus peut se résumer comme suit :

Un processus étant donné et défini par son modèle, trouver parmi les commandes admissibles celle qui permet à la fois :

• de vérifier des conditions initiales et finales données ;

• de satisfaire diverses contraintes imposées ;

• d’optimiser un critère choisi.

Cette définition appelle quelques commentaires :

• toute recherche de commande, et a fortiori de commande optimale, nécessite la manipulation d’expressions mathématiques et, en particulier de celles caractérisant l’évolution du processus, c’est-à-dire de son modèle . Le choix du modèle s’avère donc primordial. Trop simple, il ne caractérisera pas suffisamment bien le processus, et inutilement sophistiqué, il conduira à des calculs très complexes ;

• la commande est en général soumise à diverses contraintes liées à sa réalisation (accélération limitée, vitesse de montée en puissance bornée, débit borné, discontinuités exclues, réservoir de capacité limitée...) elle-même liée au matériel disponible pour la mise en œuvre ;

• les variables caractéristiques du processus peuvent être soumises à diverses contraintes liées aux saturations, à la sécurité, à la construction, au confort, au coût... ;

• les états initiaux et finaux du processus peuvent également être soumis à diverses contraintes liées aux conditions de départ et à l’ objectif à atteindre. Par exemple un hélicoptère décollant d’un bateau pour atterrir sur un autre, tous deux en déplacement ;

• le critère à optimiser doit correspondre à l’expression d’un choix étudié avec soin, il peut être lié aux valeurs de l’état et de la commande pris à des instants donnés, lié à une intégrale d’une fonction de ces variables sur un intervalle de temps fixé ou non, ou les deux à la fois ;

• l’existence d’une commande satisfaisant un objectif donné suppose que le processus est commandable , hypothèse qui sera faite implicitement de façon systématique.

Nous nous limiterons, dans l’étude qui suit, au cas des systèmes à état continu correspondant...