Mathématiques pour l'électricien - Méthodes numériques

Les méthodes numériques utiles à l’ingénieur sont nombreuses. Cependant, les algorithmes de base sont déjà exposés dans le traité Sciences fondamentales. Nous avons donc choisi de présenter ici les méthodes de discrétisation des équations de la physique en nous concentrant sur le modèle de la conduction.

Les mathématiques utilisent couramment les notions d’infini et de continu. La solution exacte d’un problème d’équations différentielles ou aux dérivées partielles est une fonction continue. Les ordinateurs ne connaissent que le fini et le discret. Les solutions approchées seront calculées en définitive comme des collections de valeurs discrètes sous la forme de composantes d’un vecteur solution d’un problème matriciel.

En vue du passage d’un problème exact (continu) au problème approché ( discret), on dispose de plusieurs techniques concurrentes : les différences finies, les éléments finis et les volumes finis. Chacune de ces trois méthodes correspond à une formulation différente des équations de la physique :

• équilibre des forces en chaque point pour les différences finies ;

• minimisation de l’énergie ou principe des travaux virtuels pour les éléments finis ;

• loi de conservation et calcul des flux pour la méthode des volumes finis.