Introduction à la dérivation fractionnaire - Théorie et applications

Quand on introduit la notion de dérivée, on se rend vite compte qu’on peut appliquer le concept de dérivée à la fonction dérivée elle-même, et par là-même introduire la dérivée seconde, puis les dérivées successives d’ordre entier. L’intégration, opération inverse de la dérivée, peut éventuellement être considérée comme une dérivée d’ordre « moins un ». On peut aussi se demander si ces dérivées d’ordres successifs ont un équivalent d’ordre fractionnaire. Selon une thèse d’histoire des mathématiques récente, la dérivation numérique d’ordre fractionnaire remonte à diverses correspondances entre Gottfried Leibniz, Guillaume de L’Hôspital et Johann Bernoulli à la fin du XVII  ^e  siècle. Mais ces grands pionniers se heurtèrent à un paradoxe.

On pourrait penser que cette recherche de dérivation fractionnaire est une question de mathématiques « pures » sans intérêt pour l’ingénieur. Pourtant un exemple simple de mécanique des fluides montre comment la dérivée d’ordre un demi apparaît tout naturellement quand on veut expliciter un flux de chaleur sortant latéralement d’un écoulement fluide en fonction de l’évolution temporelle de la source interne. La dérivée d’ordre un demi étant introduite, on doit être vigilant quant à sa définition précise dans les situations les plus générales. Il en est de même pour la définition de la dérivée d’ordre fractionnaire α, où α est typiquement un nombre réel entre zéro et un. Pendant longtemps plusieurs définitions, suite aux travaux de Joseph Liouville et Bernhard Riemann au milieu du XIX  ^e  siècle, ont coexisté sans qu’il y ait une parfaite compatibilité entre elles. Nous montrons dans cet article qu’avec la théorie des distributions, toutes les ambiguïtés ont pu être levées.

Un intérêt particulier pour la dérivation fractionnaire est lié à la modélisation mécanique des gommes et des caoutchoucs, en bref toutes sortes de matérieux qui conservent la mémoire des déformations passées et dont le comportement est dit viscoélastique. En effet, la dérivation fractionnaire s’y introduit naturellement. Nous proposons au dernier paragraphe une courte introduction à ce sujet difficile.