Procédés sommatoires - Les séries

Un procédé sommatoire consiste à attribuer une « somme » à une famille infinie d’éléments d’un espace vectoriel normé. Lorsque la famille est sommable (cf. article de ce traité), le plus simple est de lui attribuer la somme de cette famille sommable. Lorsqu’elle ne l’est pas, il convient de mettre en œuvre un procédé de sommation qui tienne compte de la situation réelle : ce peut être l’indexation de l'ensemble ou, encore, la nature du phénomène étudié. Lorsqu'il s’agit, par exemple, de décomposer un phénomène périodique qui fait apparaître des discontinuités, il est nécessaire de passer par un développement en série de Fourier qui ne correspond pas à une famille sommable : il s’agit soit d’une série indexée par $\mathbb{N}$ , soit même de la limite de sommes symétriques.

Dans cet article sont étudiées les séries numériques, qui constituent de loin l’exemple le plus élémentaire de procédé de sommation. Outre quelques méthodes d’étude de la convergence, on trouvera des exemples de calculs exacts de sommes de telles séries.

Dans l'article « Développements asymptotiques » seront abordés les procédés d’évaluation asymptotique ou numérique de sommes, que ce soient des sommes finies ou des sommes de série. En relation avec ce sujet seront évoqués les produits infinis. On y trouvera aussi d’autres procédés de sommation.