Approche variationnelle pour la méthode des éléments finis

Depuis l’avènement des ordinateurs il y a maintenant plus d’un demi-siècle et, compte tenu en particulier de l’augmentation de leur puissance de calcul, la simulation numérique a remplacé l’expérimentation directe trop coûteuse et longue à mettre en œuvre ; celle-ci n’est plus, de nos jours, qu’un moyen de vérification des calculs effectués sur machine. Sur le plan mathématique, la simulation numérique nécessite essentiellement la résolution numérique d’équations aux dérivées partielles qui conduisent à l’obtention de solutions approchées. Il existe de nombreuses méthodes d’approximation qui présentent toutes des avantages et des inconvénients ; citons, à titre illustratif, la méthode des différences finies, la méthode des volumes finis, les méthodes spectrales, etc.

Dans les trois articles qui composent cet ensemble , nous nous intéressons à la méthode des éléments finis qui est très utilisée dans l’industrie, en particulier en aéronautique, dans l’industrie automobile, en météorologie, etc. Cette méthode est intéressante, compte tenu de sa souplesse d’utilisation, en particulier vis-à-vis de l’approximation des divers opérateurs modélisant des phénomènes en physique-mathématique et également pour la prise en compte de conditions aux limites portant sur les gradients de la fonction à calculer. Cette souplesse apparaît également dans le fait que les domaines où sont définies les équations aux dérivées partielles peuvent être approchés au mieux et, en particulier, il peut être tenu compte du caractère courbe des frontières de ces domaines ; de plus, les nœuds de la discrétisation, c’est-à-dire les points où sont approchées les fonctions à calculer, peuvent être répartis de façon arbitraire, ce qui permet d’avoir un maillage serré dans les zones à forte variation de la solution et un maillage relativement grossier dans les régions où cette solution varie peu ; dans le même ordre d’idée, il n’est pas nécessaire d’utiliser des maillages uniformes à pas constant, la définition d’éléments de dimension variable s’effectuant sans difficulté ; cela est particulièrement appréciable lors de l’étude des phénomènes définis dans des milieux hétérogènes. Enfin, sur le plan informatique, la méthode des éléments finis conduit à l’écriture de code de calculs les plus généraux possible, ce qui correspond certes à un avantage mais aussi à un inconvénient, compte tenu de la difficulté pratique de programmation de cet algorithme ; il convient de noter cependant que le schéma de principe du code est relativement simple, la complexité découlant des innombrables possibilités qu’offre la méthode. De plus, le développement d’un tel code nécessite de longs mois de programmation.

Une autre difficulté de compréhension...