Fonctions aléatoires

Contrairement aux fonctions analytiques usuelles que l’on peut déterminer avec rigueur, la valeur numérique d’une fonction aléatoire demeure totalement ou partiellement imprévisible.

L’exemple le plus familier de fonctions aléatoires est sans doute donné par la capture de certains signaux dépendant de la variable temps. Dans ce cas particulier, si la variable temps peut être fixée très précisément par un échantillonnage périodique, l’amplitude du signal restera auréolée d’une incertitude constituant une variable aléatoire discrète ou continue.

Nous verrons dans le déroulement de l’article que la seule description rationnelle des fonctions aléatoires ne peut être empruntée qu’à la notion de covariance , elle même dérivée du coefficient de corrélation défini dans l’article  [R 210v2] . De plus, il sera montré que sous le respect de la condition de stationnarité des fonctions aléatoires, la covariance devient fonction d’autocorrélation . Cette dernière est directement transposable sous des signatures analytiques, ou indirectement sous la forme de données numériques déduites d’une estimation arithmétique. Quelle que soit la démarche adoptée, l’examen de la signature d’autocorrélation révèlera les principales propriétés de dépendance stochastique de la fonction aléatoire génératrice.

La question de la fonction d’autocorrélation est donc étroitement reliée aux propriétés générales des variables stationnaires discutées dans le premier paragraphe. La stationnarité sera illustrée par la désintégration spontanée des noyaux atomiques et la génération du signal bruit électronique.

Ces deux phénomènes, bien connus des physiciens, s’approprient successivement la loi de probabilité de Poisson et la loi de probabilité normale, toutes deux dotées de paramètres stationnaires.

Le second paragraphe sera entièrement consacré à d’autres propriétés entrant dans le calcul des fonctions d’autocorrélation. Il s’agit principalement du principe ergodique intervenant lors du calcul...