Commande optimale

On dit qu’un système dynamique est commandé s’il est possible d’agir sur lui par des variables dépendant du temps, appelées commandes . Illustrons ce concept dans le cas d’un engin spatial, décrit par des variables de position et vitesse (dans ${ℝ}^3$ ) h et V, et une masse m > 0, soit 7 variables d’ état . La dynamique est, omettant l’argument temps, $\dot{h}=V$ , $m\dot{V}=F\left(h,\mathrm{\hspace{0.17em}}V\right)+u$ et $\dot{m}=-\mathrm{\hspace{0.17em}}c\left|u\right|$ . Ici c est une constante positive et F  (h, V) correspond aux forces de gravité et (le cas échéant) aérodynamiques. La commande est la force appliquée, dont on a noté la norme euclidienne par $\left|u\right|$ , soumise à une contrainte du type $\left|u\right|\le U$ . Étant donné un point initial fixé, on cherche à atteindre une cible (partie de l’espace d’état) en minimisant un compromis entre temps de parcours et énergie dépensée.

Pour l’implémentation en temps réel d’une commande il est nécessaire de prendre en compte les moyens d’observations et la reconstitution de l’état, en considérant des aspects de traitement du signal et le choix de l’électronique de commande. Au contraire, dans cet article, nous ne considérons que l’étude amont, dans laquelle on se donne un cadre déterministe et on calcule donc hors ligne une commande optimale. L’allure de cette dernière pourra guider la conception de la commande en temps réel.

L’exposé suivra d’abord l’approche de Lagrange et Pontriaguine qui consiste à étudier les variations...