Présentation
RÉSUMÉ
Actuellement dans l'industrie automobile, en médecine ou astrophysique, les problèmes complexes de calculs de structures et de reconnaissance de forme sont résolus sur des calculateurs parallèles composés de centaines de nœuds de calcul. Leurs fonctionnements nécessitent l’utilisation de méthodes de décomposition de domaines. Les premiers modèles de ces méthodes ont été établis par H.A. Schwarz. Le principe consiste à morceler un problème de grande taille en une suite de sous-problèmes de taille plus petite, et donc plus facilement résolus. Depuis leur apparition, les approches ont évolué et des variantes se sont greffées aux modèles de base, aboutissant à différentes qualités de convergence.
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Lire l'articleAUTEUR(S)
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Martin J. GANDER : Professeur de mathématiques - Section de Mathématiques, Université de Genève
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Laurence HALPERN : Professeur de Mathématiques - Laboratoire Analyse, Géométrie et Applications, Université Paris 13
INTRODUCTION
Tous les problèmes d’ingénierie aujourd’hui sont résolus en parallèle sur des ordinateurs composés de centaines, voire des milliers de noeuds de calcul. Cet article se propose d’exposer les méthodes de décomposition de domaine susceptibles de s’appliquer à ces nouveaux outils. Emile Picard nous enseigne dans que pour comprendre une théorie, il est bon d’avoir en tête un problème modèle.
Les méthodes d’approximation dont nous faisons usage sont théoriquement susceptibles de s’appliquer à toute équation, mais elles ne deviennent vraiment intéressantes pour l’étude des propriétés des fonctions définies par les équations différentielles que si l’on ne reste pas dans les généralités et si l’on envisage certaines classes d’équations.
Nous choisirons donc dans tout cet exposé un fil conducteur, l’équation de la chaleur
représentant les variations en temps et en espace de la température d’un corps emplissant le domaine Ω , soumis à une source de chaleur f (qui sera appelée second membre), avec une température initiale donnée dans tout le domaine, et des conditions aux limites sur le bord du domaine ∂ Ω , par exemple de Dirichlet (la température est fixée), soit u = g. ∂ t u est la dérivée en temps de u, Δ est l’opérateur de Laplace, Δ u = ∂ 11 u + ∂ 22 u + ∂ 33 u. Pour calculer sur un ordinateur une solution approchée de cette équation, on peut commencer par une semi-discrétisation en temps . Le schéma le plus simple est le schéma d’Euler implicite (voir
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MOTS-CLÉS
| | Décomposition de domaines | Méthodes de Schwarz | Méthodes de Schur | Relaxation d'ondes | Algorithme pararéel
DOI (DIGITAL OBJECT IDENTIFIER)
Méthodes de décomposition de domaines - Notions de base
Historique
Sources bibliographiques
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