Présentation
RÉSUMÉ
L’application des outils de calcul différentiel à l’étude de la géométrie s’appelle la géométrie différentielle. Sa présentation au sein d’un espace euclidien impose l’approche des théories des courbes ce qui permet ensuite d’appréhender les théories des surfaces. Les études de la géométrie différentielle sont fondées sur la représentation paramétrique des courbes et des surfaces, et notamment sur les définitions de point régulier et singulier, le changement de paramètre et la grandeur géométrique. Les propriétés métriques, ainsi que les notions de courbure des courbes et des surfaces, avec les grandeurs courbure et torsion, sont également essentielles. Au final, la présentation du théorème fondamental de la théorie des courbes, respectivement des surfaces, donne un moyen de caractériser et de distinguer les courbes, respectivement les surfaces, ainsi que de les reconstruire à partir de certaines données caractéristiques.
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Gudrun ALBRECHT : Professeur des universités - Université Lille Nord de France - UVHC, LAMAV – CGAO Valenciennes
INTRODUCTION
Cet article a pour but de présenter les bases de la géométrie différentielle locale des courbes et des surfaces au sein d’un espace euclidien. Dans un premier temps, nous étudierons la théorie des courbes qui servira ensuite de base à la théorie des surfaces. Dans les deux cas, pour les courbes et les surfaces, nous suivrons le même fil conducteur. Nous introduirons d’abord la représentation paramétrique des courbes et des surfaces sur laquelle se basent les études de la géométrie différentielle. C’est dans ce cadre que nous présenterons la notion importante de grandeur géométrique d’une courbe ou d’une surface, à laquelle nous dédierons la suite de cet article afin de caractériser les courbes et les surfaces. Seront étudiées en particulier les propriétés métriques, ainsi que les notions de courbure des courbes et des surfaces. L’étude se terminera par la présentation du théorème fondamental de la théorie des courbes, respectivement des surfaces, qui donne un moyen de caractériser et de distinguer les courbes, repectivement les surfaces, ainsi que de les reconstruire à partir de certaines données caractéristiques.
Plus précisément les points abordés dans ce dossier sont les suivants :
la représentation paramétrique des courbes et des surfaces conduisant aux définitions de point régulier et singulier , ainsi que de changement de paramètre et de grandeur géométrique ;
les propriétés métriques des courbes et des surfaces, en particulier la notion d’ abscisse curviligne pour les courbes et celle de la première forme fondamentale pour les surfaces ;
les notions de courbure, en particulier les grandeurs courbure et torsion pour les courbes et la deuxième forme fondamentale , la courbure normale , les courbures principales , la courbure de Gauss et la courbure moyenne pour les surfaces.
De nombreuses disciplines théoriques et pratiques utilisent ces résultats, voir par exemple
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Géométrie différentielle
Théorie des courbes dans ε2 et ε3
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