Présentation
RÉSUMÉ
La présentation de la géométrie projective bi et tridimensionnelle ne peut se faire sans un rappel de la structure d’un espace affine. Ces deux approches ont en commun les mêmes bases, cependant l’avantage majeur de la géométrie projective est de permettre une formulation plus uniforme et homogène, sans besoin de vecteur de translation. Cet article traite des notions de repère, de coordonnées et de transformations projectives, de birapport de quatre points alignés et du principe de dualité. N’est pas oubliée la présentation des théorèmes classiques de Pascal, Desargues et Pappus, ainsi que leurs correspondants duaux, et du programme d’Erlanger, qui établit la théorie des invariants d’un groupe de transformations.
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Gudrun ALBRECHT : Professeur à l'Université de Valenciennes et du Hainaut-Cambrésis - École nationale supérieure d'ingénieurs en informatique, automatique, mécanique, énergétique, électronique ENSIAME - Laboratoire de mathématiques et leurs applications de Valenciennes LAMAV
INTRODUCTION
Ce dossier a pour but de présenter les bases de la géométrie projective bi- et tridimensionnelle. Pour cette présentation, notre point de départ est la géométrie affine . La géométrie projective possède bien des avantages par rapport à la géométrie affine, sans perdre pour autant ses notions de bases qui peuvent facilement être récupérées, l'espace affine étant contenu dans l'espace projectif. L'avantage majeur de la géométrie projective est de permettre une formulation plus uniforme et homogène que dans la géométrie affine. Par exemple, dans le plan projectif, il n'existe pas de notion de parallélisme de droites, deux droites se coupant toujours en un point. Aussi, pour la représentation d'une transformation projective, il suffit d'une matrice. Elle ne nécessite pas de vecteur de translation comme son homologue affine. Nous verrons également que la géométrie projective englobe, outre la géométrie affine, de nombreuses géométries, comme par exemple la géométrie euclidienne et des géométries non euclidiennes, dites géométries de Cayley-Klein .
Nous traitons en particulier :
les notions de repère , de coordonnées et de transformations projectifs ;
la notion de birapport de quatre points alignés , l'analogue projectif du rapport affine de trois points alignés ;
le principe de dualité mettant en correspondance les points et les droites du plan projectif (respectivement les points et les plans de l'espace projectif tridimensionnel) et permettant d'obtenir de nouveaux théorèmes à partir de théorèmes connus en les dualisant ;
des théorèmes classiques, tels que les théorèmes de Desargues , Pappus et Pascal , ainsi que leurs correspondants duaux ;
le programme d'Erlangen de Felix Klein identifiant « la géométrie » avec « la théorie des invariants d'un groupe de transformations » et le rôle de la géométrie projective pour les géométries euclidienne et non euclidiennes.
Les applications des ces notions sont nombreuses, notamment dans les domaines de la CAO (conception assistée par ordinateur), de l'informatique graphique et de la physique.
En CAO, le standard...
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Géométrie projective
Plan projectif
Bibliographie
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