Introduction à la géométrie algébrique

Soit $\mathbb{K}$ un corps fixé (dans cet article, le corps $\mathbb{Q}$ des nombres rationnels, le corps $ℝ$ des nombres réels ou le corps $ℂ$ des nombres complexes).

On considère un système d'équations P_i   (X₁,…, X_n) = 0 où les P_i sont des polynômes à coefficients dans $\mathbb{K}$ et où les variables prennent leurs valeurs dans $\mathbb{K}$ (ou un corps contenant $\mathbb{K}$). Typiquement, les équations seront à coefficients entiers, et on considérera les solutions du système dans ${ℝ}^n$ ou ${ℂ}^n\mathrm{.}$

Un tel système définit un sous-ensemble $\mathrm{X}\subset {\mathbb{K}}^n$ appelé variété algébrique, et la géométrie algébrique consiste a comprendre les propriétés « géométriques » de X en utilisant les propriétés « algébriques » du système d'équations. Un exemple historique fondamental est l'étude des trajectoires des planètes et comètes qui sont en première approximation des courbes planes du second degré (i.e. des coniques : ellipses, paraboles ou hyperboles).

Bien que l'on s'intéresse en pratique (comme dans l'exemple ci-dessus) au cas réel, on constate que le rapport cherché entre algèbre et géométrie est beaucoup plus satisfaisant dans le cas du corps des nombres complexes (fondamentalement parce qu'un polynôme à une variable de degré n à coefficients réels ou complexes a exactement n racines complexes « distinctes...