Introduction à la géométrie algébrique

Soit $\mathbb{K}$ un corps fixé (dans cet article, le corps $\mathbb{Q}$ des nombres rationnels, le corps $ℝ$ des nombres réels ou le corps $ℂ$ des nombres complexes).

On considère un système d'équations P _i    (X ₁ ,…, X _n ) = 0 où les P _i sont des polynômes à coefficients dans $\mathbb{K}$ et où les variables prennent leurs valeurs dans $\mathbb{K}$ (ou un corps contenant $\mathbb{K}$ ). Typiquement, les équations seront à coefficients entiers, et on considérera les solutions du système dans ${ℝ}^n$ ou ${ℂ}^n\mathrm{.}$

Un tel système définit un sous-ensemble $\mathrm{X}\subset {\mathbb{K}}^n$ appelé variété algébrique, et la géométrie algébrique consiste a comprendre les propriétés « géométriques » de X en utilisant les propriétés « algébriques » du système d'équations. Un exemple historique fondamental est l'étude des trajectoires des planètes et comètes qui sont en première approximation...