Introduction aux équations aux dérivées partielles linéaires

On se propose dans cet article de décrire quelques propriétés élémentaires des équations aux dérivées partielles (e.d.p.) linéaires du second ordre à coefficients constants, autrement dit, dans le cas de deux variables, des équations de la forme :$a\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+b\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x\partial y}+c\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}+\alpha \frac{\partial u}{\partial x}+\beta \frac{\partial u}{\partial y}+\mathit{\gamma u}=F\left(x,\mathrm{\hspace{0.17em}}y\right)$

où a, b, c, α, β, γ désignent six nombres réels donnés (a, b, c étant non tous nuls), F une fonction continue de deux variables réelles définie sur un ouvert U du plan et u une fonction inconnue, supposée de classe C ².

On distingue a priori deux types de problèmes :

• ceux dans lesquels n’intervient pas la variable temps t, et qui ne dépendent donc que des variables spatiales x, y, z ; ils sont appelés problèmes stationnaires ;

• ceux dans lesquels intervient, en plus des variables spatiales x, y, z, la variable temps t ; ils sont appelés problèmes d’évolution.

• On recherche le plus souvent des solutions vérifiant des conditions aux limites, signifiant que la solution considérée u, a priori définie sur l’ouvert U du plan, satisfait certaines conditions sur la frontière de U. On distingue à ce sujet deux types de conditions, celles de Dirichlet et de Neumann.

Les conditions de Dirichlet imposent à la solution u d’être continue sur l’adhérence de U, c’est-à-dire sur U et sa frontière, et d’être alors égale à une fonction donnée sur la frontière de U.

Les conditions de Neumann imposent à la solution u d’être continue sur l’adhérence de U, c’est-à-dire sur U et sa frontière, et d’admettre en tout point de la frontière de U une dérivée u/ N suivant le vecteur normal N orienté vers l’extérieur de la frontière de U (supposée suffisamment régulière) égale à une fonction donnée.

Dans un problème d’évolution, on recherche de plus des solutions vérifiant certaines conditions initiales (ou conditions de Cauchy), signifiant que,...