Discrétisation du problème. Cas du problème monodimensionnel
Méthode des différences finies pour les EDP stationnaires

Pour introduire les techniques de différences finies, considérons le cas du problème de Poisson monodimensionnel avec conditions aux limites de Dirichlet homogènes. Ce problème peut être illustré sur le plan physique comme suit : soit une corde élastique de longueur unité, attachée en chacune de ses extrémités ; on agit sur cette corde avec une force f (x ), perpendiculaire à la corde, dans le plan contenant la corde. On se propose de déterminer, pour tout x ∊ Ω = [0, 1], le déplacement u (x ) de la corde soumise à la force f (x ), déplacement compatible avec les conditions aux limites u (0) = u (1) = 0. Sous l’hypothèse des petits déplacements, on montre que le problème d’élasticité précédent est modélisé par l’équation aux dérivées partielles suivante :