| Réf : A144 v1

Calcul matriciel
Calcul formel

Auteur(s) : Claude GOMEZ

Date de publication : 10 août 1995

Pour explorer cet article
Télécharger l'extrait gratuit

Vous êtes déjà abonné ?Connectez-vous !

Sommaire

Présentation

Auteur(s)

  • Claude GOMEZ : Ancien Élève de l’École Centrale de Paris - Docteur Ingénieur - Directeur de Recherche à l’Institut National de Recherche en Informatique et Automatique (INRIA)

Lire cet article issu d'une ressource documentaire complète, actualisée et validée par des comités scientifiques.

Lire l’article

INTRODUCTION

Le calcul formel est de plus en plus connu dans le monde des scientifiques et en particulier dans celui des ingénieurs. Cela est dû en partie à la « démocratisation » de son utilisation. En effet, il y a quelques années, seule une grosse configuration d’ordinateur permettait de faire fonctionner correctement les systèmes de calcul formel existants. De nos jours, ces systèmes fonctionnent raisonnablement sur des micro-ordinateurs à faible coût (PC, Macintosh). Ensuite, sous l’impulsion du système de calcul formel Mathematica, une grande publicité a été faite pour ces systèmes, les faisant ainsi connaître du grand public scientifique. Aujourd’hui, presque tout utilisateur d’un ordinateur peut se procurer, à un prix raisonnable, un système de calcul formel.

Lorsque l’on vient d’acquérir un tel système, il est très facile, dans un premier temps, de réaliser des calculs simples, du style « calculatrice formelle », mais ensuite on veut généralement aller plus loin et, là, une certaine connaissance du système et de ses limitations est indispensable pour éviter le découragement de l’utilisateur. Du temps de formation est donc nécessaire pour une utilisation optimale d’un système de calcul formel.

Alors, une autre question apparaît : « le calcul formel est-il utile pour moi ? » ; autrement dit, « est-il rentable pour moi de passer du temps à apprendre à utiliser un tel système ? ». Le but de ce chapitre est de répondre à cette question. Pour cela, nous allons passer en revue les principaux domaines des mathématiques dans lesquels le calcul formel peut résoudre des problèmes. Ces domaines sont ceux où l’ingénieur a généralement à travailler : les calculs sur les nombres et les fractions rationnelles, la dérivation, la simplification de formules et les tracés de courbes qui sont la base de tout système de calcul formel, les calculs intégral et matriciel, la résolution d’équations couramment utilisées par les ingénieurs et, enfin, le calcul numérique. Ce dernier est en général la fin du travail de l’ingénieur et le calcul formel s’avère considérablement utile dans ce domaine ; nous insistons particulièrement sur ce point. Pour chaque partie, nous montrons ce que sait faire le calcul formel, comment il le fait et quelles sont ses limitations.

Un grand nombre d’exemples émaillent le chapitre, afin de montrer le fonctionnement du calcul formel à travers un système. Nous avons choisi le système de calcul formel Maple (version V.3) pour cela, car c’est un système très largement diffusé (avec Mathematica), qu’il dispose d’une bibliothèque suffisamment riche et ouverte (le programme source de la plupart des fonctions est accessible) et qu’il est aisément extensible.

Le but de ce chapitre n’est pas la description du système de calcul formel Maple. Nous n’expliquerons pas de façon détaillée la syntaxe et le fonctionnement de ce système. Mais les exemples ont été choisis pour qu’ils soient compréhensibles par le lecteur ; des explications sont données chaque fois que cela est nécessaire.

Fonctionnement d’un système de calcul formel comme Maple. L’utilisateur entre une commande, terminée par un point virgule « ; » dans une syntaxe très naturelle, et Maple affiche la réponse en format haute résolution qui ressemble à la typographie mathématique. Si l’on remplace le point virgule par deux points « : », la réponse n’est pas affichée. Par ailleurs, Maple utilise le principe des packages, c’est-à-dire qu’un grand nombre de commandes sont classées par groupes de même fonctionnalité. Dans ce cas, l’appel de la commande s’écrit <nom du package> [<nom de la commande>], comme linalg[det].

Cet article est réservé aux abonnés.
Il vous reste 94% à découvrir.

Pour explorer cet article
Téléchargez l'extrait gratuit

Vous êtes déjà abonné ?Connectez-vous !


L'expertise technique et scientifique de référence

La plus importante ressource documentaire technique et scientifique en langue française, avec + de 1 200 auteurs et 100 conseillers scientifiques.
+ de 10 000 articles et 1 000 fiches pratiques opérationnelles, + de 800 articles nouveaux ou mis à jours chaque année.
De la conception au prototypage, jusqu'à l'industrialisation, la référence pour sécuriser le développement de vos projets industriels.

DOI (Digital Object Identifier)

https://doi.org/10.51257/a-v1-a144


Cet article fait partie de l’offre

Mathématiques

(202 articles en ce moment)

Cette offre vous donne accès à :

Une base complète d’articles

Actualisée et enrichie d’articles validés par nos comités scientifiques

Des services

Un ensemble d'outils exclusifs en complément des ressources

Un Parcours Pratique

Opérationnel et didactique, pour garantir l'acquisition des compétences transverses

Doc & Quiz

Des articles interactifs avec des quiz, pour une lecture constructive

ABONNEZ-VOUS

Lecture en cours
Présentation

3. Calcul matriciel

Le calcul matriciel est un domaine où le calcul formel peut apporter beaucoup. En effet, au-delà de matrices 3 × 3, il devient difficile de réaliser des calculs à la main. La complexité de ces calculs n’est pourtant pas très élevée, ce qui permet aux systèmes de calcul formel de résoudre des problèmes de taille assez importante.

La plupart du calcul matriciel en Maple se fait dans un package appelé linalg. Pour éviter d’utiliser le nom du package chaque fois que l’on utilise une fonction de celui-ci, il est possible de le charger une fois pour toutes à l’aide de la commande with (linalg). C’est ce que nous supposerons dans tout le paragraphe.

3.1 Calculs de base

Tous les systèmes de calcul formel permettent de réaliser les calculs de base sur les matrices et les vecteurs qui sont la somme, le produit, l’élévation à une puissance et le calcul de l’inverse. Seule la syntaxe change d’un système de calcul formel à un autre.

Exemple

en Maple, pour créer une matrice de Wandemonde 3 × 3, un vecteur et en réaliser le produit, on fait :

m:=matrix(3,3,(i,j)->x.i^(j–1));

v:=vector([1,2,3]);

v:= [1 2 3]

evalm(m &*v);

[1 + 2x1 + 3x1 21 + 2x2 + 3x2 21 + 2x3 + 3x3 2]

Le troisième argument de la commande matrix est une fonction qui crée les éléments de la matrice et la commande evalm permet d’évaluer une expression matricielle. L’opérateur « · » est l’opérateur de concaténation de chaînes de caractères et la multiplication matricielle est exprimée...

Cet article est réservé aux abonnés.
Il vous reste 95% à découvrir.

Pour explorer cet article
Téléchargez l'extrait gratuit

Vous êtes déjà abonné ?Connectez-vous !


L'expertise technique et scientifique de référence

La plus importante ressource documentaire technique et scientifique en langue française, avec + de 1 200 auteurs et 100 conseillers scientifiques.
+ de 10 000 articles et 1 000 fiches pratiques opérationnelles, + de 800 articles nouveaux ou mis à jours chaque année.
De la conception au prototypage, jusqu'à l'industrialisation, la référence pour sécuriser le développement de vos projets industriels.

Cet article fait partie de l’offre

Mathématiques

(202 articles en ce moment)

Cette offre vous donne accès à :

Une base complète d’articles

Actualisée et enrichie d’articles validés par nos comités scientifiques

Des services

Un ensemble d'outils exclusifs en complément des ressources

Un Parcours Pratique

Opérationnel et didactique, pour garantir l'acquisition des compétences transverses

Doc & Quiz

Des articles interactifs avec des quiz, pour une lecture constructive

ABONNEZ-VOUS

Lecture en cours
Calcul matriciel
Sommaire
Sommaire

Cet article est réservé aux abonnés.
Il vous reste 95% à découvrir.

Pour explorer cet article
Téléchargez l'extrait gratuit

Vous êtes déjà abonné ?Connectez-vous !


L'expertise technique et scientifique de référence

La plus importante ressource documentaire technique et scientifique en langue française, avec + de 1 200 auteurs et 100 conseillers scientifiques.
+ de 10 000 articles et 1 000 fiches pratiques opérationnelles, + de 800 articles nouveaux ou mis à jours chaque année.
De la conception au prototypage, jusqu'à l'industrialisation, la référence pour sécuriser le développement de vos projets industriels.

Cet article fait partie de l’offre

Mathématiques

(202 articles en ce moment)

Cette offre vous donne accès à :

Une base complète d’articles

Actualisée et enrichie d’articles validés par nos comités scientifiques

Des services

Un ensemble d'outils exclusifs en complément des ressources

Un Parcours Pratique

Opérationnel et didactique, pour garantir l'acquisition des compétences transverses

Doc & Quiz

Des articles interactifs avec des quiz, pour une lecture constructive

ABONNEZ-VOUS