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Auteur(s)
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Jean-Loup CHENOT : Ingénieur diplômé de l’École Polytechnique - Docteur ès Sciences - Directeur du Centre de Mise en Forme de l’École des Mines de Paris
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Lire l’articleINTRODUCTION
Les méthodes de calcul en plasticité ont profondément évolué ces dix dernières années, à partir des travaux des pionniers en viscoplasticité et en élastoplasticité . Les méthodes utilisées jusque là : méthode des tranches, méthodes extrémales, méthode des lignes de glissement, méthode de viscoplasticité, sont progressivement remplacées par la méthode des éléments finis dont la puissance et la souplesse permettent de prendre en compte des géométries complexes, des comportements de plus en plus réalistes, et de développer des codes de calcul utilisables dans l’industrie. Ces changements ont été rendus possibles par l’augmentation spectaculaire des performances des ordinateurs de coût abordable par une entreprise moyenne, et par l’apparition des stations de travail comportant un terminal graphique évolué. Néanmoins les anciennes méthodes, outre leur intérêt historique, conservent un intérêt pédagogique indéniable et leur application intelligente à des problèmes complexes, en simplifiant au maximum les conditions physiques, permet d’obtenir des ordres de grandeur utiles, qu’il est souvent intéressant de comparer aux modèles sophistiqués dans lesquels une erreur de donnée est possible, et parfois difficile à détecter. Dans ce qui suit, certaines de ces méthodes seront donc rappelées brièvement en donnant les éléments indispensables à leur mise en œuvre. Nous avons volontairement exclu la méthode des lignes de glissement, dont la complexité est proche de celle des éléments finis, mais qu’il est difficile d’appliquer à des situations où la géométrie, les conditions aux limites, ou le comportement sont complexes.
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4. Calcul de la déformation des solides élastoplastiques par la méthode des éléments finis
Les équations d’un solide élastoplastique ont été explicitées dans l’article Plasticité en mise en forme [M 590] dans ce traité, mais dans la mesure où l’on ne dispose pas d’une formulation variationnelle satisfaisante, il convient de tenir compte de l’équation d’équilibre, qui s’écrit :
( 38 )
en l’absence de force de masse et d’inertie. On préfère généralement à [38] la forme intégrale, ou théorème des puissances virtuelles que l’on écrira :
pour tout champ de vitesse virtuel v *. Pour des raisons historiques, la quasi‐totalité des approches partent d’une discrétisation spatiale et temporelle du déplacement, mais une approche en vitesse est également possible comme il est montré dans la référence bibliographique . Par souci de simplicité nous nous bornerons ici à l’approximation des équations en fonction d’un incrément de déplacement.
Le symbole : correspond au produit contracté, le lecteur se reportera utilement à l’article Calcul tensoriel ...
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