Stabilité des systèmes dynamiques via la théorie de Lyapunov

Les notions de stabilité et de convergence (asymptotique, exponentielle, uniforme, ...) jouent un rôle primordial en théorie du contrôle. En tablant sur le fait que les outils de calculs numériques sont de plus en plus puissants, on pourrait se dire qu’une campagne de simulations intense couplée à une bonne intuition pourrait donner les éléments suffisants pour conclure sur le comportement d’un système dynamique. Cependant, il est impossible de conclure directement à partir de simulations pour prouver des propriétés fondamentales comme la stabilité, l’atteignabilité, ... d’un système complexe car certains phénomènes très particuliers peuvent être manqués. La simulation peut plutôt être utilisée pour illustrer ou compléter la partie analyse mathématique.

Une autre approche pourrait alors consister à calculer les trajectoires du système, et donc à avoir une connaissance complète de celles-ci, et à appliquer les définitions et théorèmes basés sur ces éléments pour conclure. Cependant ces calculs peuvent se révéler très compliqués car ils sont directement liés à la structure du système : voir, par exemple, le cas de systèmes non-linéaires ou hybrides .

Pour palier ces difficultés, l’idée est de considérer la théorie de Lyapunov, qui s’appuie sur l’idée que si l’énergie d’un système est dissipée alors ce système est stable. Il s’agit dans cette méthode de formaliser le fait que l’étude du comportement d’une fonction permet de conclure à la stabilité du système sans avoir à calculer ses trajectoires de manière explicite.

Dans cet article, nous proposons un tour d’horizon sur la stabilité des systèmes dynamiques abordée grâce à la théorie de Lyapunov.

Dans ce cadre, nous nous focalisons sur le développement de conditions pour l’analyse en stabilité pour différentes classes de systèmes, c’est-à-dire que nous supposons connue une loi de commande. En considérant tout d’abord les systèmes non-linéaires (qui permettent d’englober les classes de systèmes considérées dans cet article) nous définissons les principales notions de stabilité (stabilité d’un point d’équilibre, attracteur, région d’attraction)....