Approximation des équations aux dérivées partielles

On s’intéresse dans cet article à la discrétisation des équations aux dérivées partielles, dans lesquelles l’inconnue est une fonction u (la température par exemple) dépendant de plusieurs variables d’espace x ₁ ... x _n (notées x de façon abrégée) et du temps t. On appellera Ω le domaine de l’espace et [0, T] l’intervalle de temps où l’on cherche à connaître la température. Ainsi l’évolution de la température (u (x, t )) dans une barre infinie $\left(\Omega =ℝ\right)$ et homogène à partir d’une température initiale (u ₀ (x )) connue est-elle donnée par : $\begin{array}{l}c\frac{\partial u}{\partial t}\left(x,\mathrm{\hspace{0.17em}}t\right)-a\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}\left(x,\mathrm{\hspace{0.17em}}t\right)=0\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{pour}\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{tout}\mathrm{\hspace{0.17em}}x\in \Omega \mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{et}\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{tout}\mathrm{\hspace{0.17em}}t\in \left[0,\mathrm{\hspace{0.17em}}T\right]\\ u\left(x,\mathrm{\hspace{0.17em}}0\right)=u_0\left(x\right)\mathrm{pour}\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{tout}\mathrm{\hspace{0.17em}}x\in \Omega \end{array}\}$

où c est la capacité thermique et a est la conductivité thermique de la barre. La méthode des différences finies a été, historiquement, la première méthode connue pour calculer, sur un ordinateur, une solution approchée de  (1) . L’idée consistait à remplacer la recherche de la fonction u (x, t ) par celle d’un vecteur (