Méthode des différences finies pour les EDP stationnaires

L’observation d’un phénomène conduit toujours le scientifique à une modélisation qui s’accompagne elle‐même d’une mise en équation du problème étudié ; très souvent, les modèles obtenus sont constitués par des équations différentielles ou des équations aux dérivées partielles (EDP) ; malheureusement, les méthodes analytiques de résolution de ce type de problèmes mathématiques ne s’appliquent qu’à une classe très limitée d’équations. À l’aide d’hypothèses simplificatrices, plus ou moins justifiées suivant la valeur des paramètres intervenant dans le modèle, le scientifique se ramène à un type de problèmes qu’il sait résoudre, de manière formelle ; ainsi utilise‐t‐il des modèles très simplifiés pour représenter les phénomènes observés qui sont souvent complexes.

La plupart du temps, les solutions des équations simplifiées ne représentent le phénomène que dans le domaine où les hypothèses simplificatrices ont un sens ; par contre, lorsque les valeurs des paramètres ne rentrent pas dans ce cadre, la solution obtenue n’a pas toujours un grand rapport avec l’observation. Pour avoir une approche plus fine du phénomène étudié, il faut donc prendre en compte dans les équations les termes qui rendent impossible la résolution analytique du problème. On se trouve donc dans une impasse et il faut trouver un compromis permettant à la fois de représenter les observations le plus exactement possible et de résoudre les équations décrivant le régime de fonctionnement du phénomène.

Cependant, avant d’envisager la résolution du problème d’équations aux dérivées partielles, il convient d’effectuer une étude analytique des équations intervenant dans le modèle ; à ce stade, le scientifique doit se poser des questions sur l’existence, l’unicité de la(des) solution(s), la sensibilité de la(des) solution(s) aux perturbations, la croissance ou la décroissance des solutions en fonction du temps, l’existence de points de bifurcation, etc., ce qui conduit à la résolution de problèmes mathématiques extrêmement complexes, qui cependant sont des éléments de validation de modèles mathématiques élaborés par le scientifique.

Par ailleurs les récents progrès du calcul automatique ont permis la mise en œuvre de méthodes de calcul qu’il n’était pas concevable d’envisager auparavant. Ces méthodes numériques ont permis notamment :

• la possibilité d’effectuer une grande quantité de calculs dans des temps très brefs ;

• la prise en compte de non‐linéarité dans toutes sortes d’équations ainsi que la résolution de ces dernières.

Cependant, il faut bien être conscient que la résolution numérique d’une équation aux dérivées partielles conduit à l’obtention d’une solution...