Ondelettes et applications

Quand on cherche à analyser un signal, il est très fréquent qu’on établisse, de manière explicite ou implicite, une représentation temps-fréquence de ce signal. L’image qu’on peut avoir d’une telle opération est celle de la transcription d’une partition de musique, qui indique au musicien les notes (donc l’information fréquentielle) qu’il doit produire à un moment donné. La transformée de Fourier n’est pas l’outil approprié pour mener cette analyse puisqu’elle masque l’évolution temporelle du signal. Par contre, comme nous le montrerons, la transformée en ondelettes et ses extensions fournissent des solutions intéressantes dans ce contexte.

Les ondelettes sont issues de l’intuition d’un ingénieur en géophysique, J. Morlet, dans les années 1980. Sous l’impulsion de personnalités scientifiques telles que le physicien A. Grossman [39] ou le mathématicien Y. Meyer [55] , les ondelettes se sont imposées comme des outils fondamentaux de l’analyse harmonique moderne.

D’un point de vue applicatif, les ondelettes ont eu une influence importante dans divers domaines : physique, analyse numérique (par exemple, pour la résolution d’équations aux dérivées partielles), statistiques, traitement du signal et des images, vision par ordinateur…

Dans le contexte de traitement du signal dans lequel nous nous placerons, le lien existant entre les décompositions en ondelettes et des outils plus traditionnels que sont les bancs de filtres, confère une certaine légitimité à ces transformations. Les bancs de filtres considérés agissent en divisant le spectre des signaux de manière logarithmique et constituent ainsi d’assez bonnes approximations du mode de fonctionnement des systèmes perceptuels visuel ou auditif humains. Les ondelettes et les techniques multirésolution ont connu un grand succès en traitement d’images pour des problèmes tels que l’estimation de mouvement, la reconnaissance de formes, la recherche dans des bases de données et la transmission progressive d’informations. La propriété essentielle qui est exploitée dans ces applications est la possibilité d’approximer les images à plusieurs échelles, en partant d’une vue « grossière » qu’on vient affiner au cours de traitement successifs.

Dans la suite de cet article, nous présenterons les différentes formes de transformations en ondelettes existant. De façon schématique, on peut en distinguer trois types :

• des représentations très redondantes (transformations continues en ondelettes) ;

• des décompositions parcimonieuses...