Intégration

L’intégrale a été naturellement introduite en mathématiques pour calculer des longueurs, des aires ou des volumes, en d’autres termes pour mesurer.

Par exemple, pour calculer la distance parcourue par un mobile sur sa trajectoire, on intégrera sa vitesse (algébrique). D’emblée, l’intégrale d’une fonction peut s’interpréter comme l’accroissement de l’une de ses primitives. Pendant deux siècles, si les techniques de calcul des intégrales se sont améliorées, les objets intégrés sont restés de même nature : applications analytiques essentiellement, puis, au début du XIX ^e siècle, continues ( Cauchy ). Simultanément, ce même Cauchy tente de donner un sens à l’intégrale d’une fonction non bornée, ou bien définie sur un intervalle qui n’est pas un segment : cette notion correspond à celle d’intégrale impropre. De cette époque ( Fourier ) date la notation ${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$

Avec le développement de l’analyse harmonique, d’une part, et la nécessité de donner un statut précis aux opérations de l’analyse, d’autre part, des tentatives nombreuses visent alors à définir l’intégrale de fonctions appartenant à une classe assez large et à en déterminer les propriétés : citons Dirichlet, qui cherche à généraliser la notion d’intégrale impropre, et surtout Riemann, qui définit sur une certaine classe de fonctions, les fonctions intégrables au sens de Riemann, une intégrale restée très classique. Le point de départ est le même que chez Cauchy, si ce n’est que la fonction à intégrer n’est pas a priori supposée continue, ni même assez régulière. De fait, ce qui détermine le caractère intégrable de la fonction, c’est la seule convergence du procédé d’intégration. En réalité échappent à l’intégration de Riemann les fonctions trop irrégulières, trop grandes ou bien définies sur des ensembles trop compliqués ou non bornés.

La fin du XIX ^e siècle voit le développement des notions les plus générales de fonction et, avec lui, le goût pour des outils dont le champ d’application est le plus vaste possible. On cherche à intégrer des fonctions éventuellement très irrégulières. De cette époque date l’intégrale supérieure...