Séries de Fourier

Rappelons qu’une fonction f : $ℝ$  →  $ℂ$ est dite T – périodique si,

pour tout x réel ;

On peut toujours se ramener à T = 2 π, quitte à considérer g(x) =  $f\left(\frac{\mathit{Tx}}{2\mathrm{\pi }}\right)$ .

Une des propriétés essentielles du nombre π est que les fonctions cos  nx , sin  nx , e ^{i nx} (où n est entier), appelées «  signaux élémentaires  », sont 2 π - périodiques ainsi que leurs combinaisons linéaires ; une question naturelle se pose alors : obtient-on ainsi toutes les fonctions 2 π – périodiques ? On va voir que la réponse est essentiellement « oui » si on autorise les combinaisons linéaires infinies (séries), mais des problèmes délicats de régularité de la fonction f et de convergence des séries surgissent.

La théorie des séries de Fourier , initiée par Fourier dans sa Théorie analytique de la chaleur, avait au départ un but analogue : montrer que toutes les solutions d’une certaine équation aux dérivées partielles, dite équation de la chaleur (nous l’étudierons dans les applications), s’obtiennent comme superposition de solutions élémentaires ; cette théorie a aujourd’hui pour but de préciser comment une fonction f 2 π – périodique plus ou moins arbitraire peut s’obtenir à partir des signaux élémentaires et réciproquement de voir les fonctions f qu’on obtient en prenant des combinaisons linéaires infinies plus ou moins arbitraires des signaux élémentaires, disons ${\displaystyle \sum c_n{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\mathit{nx}}}$...