Cas où et dépendent de l’état du système : méthode de l’espace des états

1.1 - Régimes transitoire et stationnaire
1.2 - Cas des taux unitaires et indépendants de l’état du système

2 - Cas où et dépendent de l’état du système : méthode de l’espace des états

2.1 - Étapes et principe de la MEE
2.2 - Modélisation du problème par le diagramme d’états
2.3 - Simplification des graphes par regroupements d’états
2.4 - Écriture et résolution du système d’équations de changements d’état
2.5 - Calcul du MTTF (temps moyen jusqu’à la première panne non recouvrable)
2.6 - Calcul du MTTR (durée moyenne d’occupation de l’ensemble des états de panne)
2.7 - Calcul du MUT (temps moyen de disponibilité après réparation)
2.8 - Calcul du MDT et du MTBF
2.9 - Calcul de l’indisponibilité et de la fréquence asymptotique des défaillances Fd
2.10 - Calcul de la fiabilité
2.11 - Prise en compte du taux de couverture
2.12 - Redondance passive : système soutenu par remplacement d’éléments, en stock limité

3 - Extensions de la MEE

3.1 - Méthode des états fictifs

Figure 9 - États fictifs en série
3.2 - Méthode des états de marche critiques [1] [2]
3.3 - Méthode des séquences d’états [1] [2]
3.4 - Processus semi-markoviens [1] [2]
3.5 - Intérêt et limites de la MEE

4 - Analyse des systèmes asynchrones par réseaux de Petri (RdP)

4.1 - Définitions et concepts

Figure 13 - Réseau de Petri
4.2 - Propriétés définies sur les RdP
4.3 - Notions d’accessibilité et d’invariance [4] [5]
4.4 - Application des RdP aux modélisations qualitatives
4.5 - Principe de la simulation statistique
4.6 - Modélisation markovienne des réseaux de Petri stochastiques (RdPS)
4.7 - Le RdPS comme support (bas niveau) de simulation « Monte-Carlo »
4.8 - Intérêt et limites des RdP

Bibliographie & annexes

Présentation

RÉSUMÉ

Les systèmes réparables constituent encore la majeure partie de l’électronique. Leurs caractéristiques de sûreté de fonctionnement portent sur l’indisponibilité, la probabilité pour que l’entité soit inapte à l’utilisation, et le taux de défaillance élémentaire, la fréquence des défaillances, permettant de dimensionner la logistique de soutien. Seule la modélisation du cycle du processus de fonctionnement et de maintenance curative rend compte du cycle de vie du système et permet les calculs des probabilités d’état. Les cas de figure sont nombreux, plusieurs méthodes analytiques permettent d’y répondre. Des exemples ont été retenus pour illustrer ces modélisations qualitatives de fonctionnement et de dysfonctionnements.

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Auteur(s)

Marc GIRAUD : Ingénieur de l’École Française de Radioélectricité, d’Électronique et d’Informatique (EFREI) - Ancien chef du service Sûreté de fonctionnement et Testabilité de Dassault Électronique

INTRODUCTION

Les systèmes réparables constituent encore la majeure partie de l’électronique (mis à part les dispositifs dont le coût de réparation est prohibitif devant celui de fabrication).

Sur leur cycle de vie, les caractéristiques SdF les plus pertinentes y sont celles qui grèvent le coût de possession, c’est-à-dire l’indisponibilité et le taux de défaillance élémentaire.

La première s’exprime – ponctuellement – par la probabilité pour que l’entité considérée soit inapte à l’utilisation (malgré la redondance éventuelle et les réparations), ou bien – après stabilisation du régime transitoire – par le temps moyen après lequel le matériel n’est plus utilisable (entre défaillance et remise en service).

Le second rend compte de la fréquence des défaillances, qui devient vite constante et permet – de préférence à la fiabilité – de dimensionner la logistique de soutien.

Mais c’est la modélisation même du processus de fonctionnement et de maintenance curative qui rend compte du cycle de vie du système et permet les calculs des probabilités d’état ou de ses estimateurs.

Plusieurs méthodes analytiques sont présentées pour répondre aux différents cas de figure :

d’abord (et plus en profondeur, car la plus utilisée) celle dite MEE (méthode de l’espace des états) pour le processus markovien à taux de transition et constants ; ensuite, brièvement, quelques-unes de ses extensions : états fictifs, états de marche critique et séquences d’états ;
enfin, sa généralisation aux processus semi-markoviens où la probabilité de transition d’un état vers un autre ne dépend que du temps de séjour écoulé dans le premier.

Toutefois, ces analyses séquentielles ne permettent pas de modéliser les situations de conflit ou de blocage, survenant particulièrement dans les systèmes asynchrones.

On présente donc dans la suite, à l’aide de la symbolique très riche des réseaux de Petri (RdP), des exemples – parmi bien d’autres – de modélisations qualitatives de fonctionnement et de dysfonctionnements. On en vient enfin à leur utilisation quantitative (RdPS), via l’équivalence markovienne, par le choix approprié de lois de tirage des transitions du réseau ou comme support bas niveau pour simulations de Monte-Carlo.

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DOI (Digital Object Identifier)

https://doi.org/10.51257/a-v1-e3852

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2. Cas où et dépendent de l’état du système : méthode de l’espace des états

La Méthode de l’Espace des États MEE, fondée sur les chaînes de Markov homogènes (à taux de transition constants dans le temps) décrit de manière causale et analytique l’évolution d’un système quelconque, réparable, en particulier si le nombre de réparateurs est inférieur au nombre d’entités qui le composent. On généralise ici le raisonnement du § 1 présenté ici sous forme matricielle.

2.1 Étapes et principe de la MEE

Pour calculer la fiabilité ou la disponibilité d’un système dont les taux de hasard h_ij (défaillance , réparation , ou défaillance à la sollicitation ) ne dépendent QUE de l’état où il se trouve, indépendamment du passé, il faut :

• Recenser et identifier les n états E_i (opérationnels ou non) occupés par le système au cours de son évolution dans le temps.

• Tracer le graphe sagittal des transitions possibles entre états, exclusifs les uns des autres.

• Affecter les taux de hasard h_ij convenant à celles-ci, et écrire la matrice H des taux associés au graphe du problème posé (fiabilité ou disponibilité).

• Calculer les probabilités instantanées du vecteur d’état, en intégrant le système différentiel :

P′(t)...

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