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RÉSUMÉ
Trouver rapidement une image à travers un système optique et en connaître facilement ses propriétés peut s'avérer une approche efficace avant une étude approfondie. L'optique matricielle, outil mathématique de très grand confort, offre cette possibilité. Cet article expose la technique de calcul, à partir d'éléments optiques basiques (miroir, dioptre, lentille), puis s'oriente vers une méthode globale pour traiter des systèmes centrés plus complexes. Des exemples applicatifs concrets sont à chaque fois détaillés.
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The optical matrix offers a very efficient mathematical tool to find an image quickly through an optical system and discern its properties easily before further study is undertaken. This article describes how this approach is learnt from basic optical components (mirror, diopter, lens) and then gives more rapid methods using an equivalent matrix. Applied examples are given for each case to facilitate learning.
Auteur(s)
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Christophe LABBÉ : Maître de conférences à l’Université de Caen - Normandie Univ, UNICAEN, IUT de Caen, Département Mesures Physiques, Caen, France - Normandie Univ, ENSICAEN, UNICAEN, CEA, CNRS, CIMAP, Caen, France
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Benoît PLANCOULAINE : Maître de conférences à l’Université de Caen - Maîtres de conférences à l’Université Caen Normandie - Normandie Univ, UNICAEN, IUT de Caen, Département Mesures Physiques, Caen, France - Normandie Univ, UNICAEN, INSERM, BioTICLA, Caen, France
INTRODUCTION
L’optique géométrique est la première approche d’un modèle décrivant la trajectoire de l’énergie lumineuse, appelée plus communément « rayon lumineux ». Ces rayons permettent de construire, à l’aide de dessins, l’image finale d’un objet à travers des systèmes optiques (dioptre, miroir, lentille). Quand le système optique intègre un grand nombre d’éléments optiques et devient plus complexe, la construction de rayons plus ou moins éloignés de l’axe optique peut être fastidieuse, voire impossible. Si ces rayons restent au voisinage du centre des systèmes optiques, l’utilisation des formules dites de « conjugaison » peut aider à calculer deux paramètres essentiels que sont la position et la taille de l’image par rapport à son objet. Mais là encore, les calculs peuvent être longs, mal aisés et susceptibles d’être la source d’erreurs. Ces deux approches sont donc inappropriées.
Le formalisme matriciel appliqué à l’optique géométrique, appelé plus communément optique matricielle, est beaucoup plus simple d’utilisation. Cet outil mathématique permet d’accéder aisément aux mêmes propriétés, d’autant plus qu’il est utilisable sur une simple calculatrice. Préalablement à une étude approfondie, il présente en effet l’avantage d’une première approche rapide et peu coûteuse par systèmes optiques équivalents. Bien que cette approche se déduise directement de la théorie de l’électromagnétisme, elle s’applique dans le cadre d’une approximation appelée optique paraxiale, basée sur la géométrie des rayons lumineux évoluant aux centres des systèmes optiques. Elle comporte ses propres limites, qui peuvent être levées grâce à des moyens de calcul plus sophistiqués utilisant des logiciels de tracé (ou « lancé ») de rayons par exemple. Ce formalisme matriciel reste néanmoins très efficace pour orienter les premières conceptions de systèmes optiques, puisqu’il s’intègre parfaitement dans la démarche de miniaturisation des dispositifs optiques.
Cet article présente tout d’abord le contexte de l’optique matricielle, ainsi que son principe de calcul basé sur des matrices à deux dimensions. Puis, ces matrices sont calculées et associées à chaque élément optique de base, telles la propagation d’un rayon, la traversée d’un dioptre ou la réflexion sur un miroir. À partir de l’inventaire de ces matrices associées, des exemples concrets sont exposés avec des systèmes composés de deux dioptres (lentilles plan-convexe, biconvexe) pour déterminer, par exemple, la distance focale. Une autre partie indique ensuite la méthode de calcul à partir des matrices de systèmes équivalents (matrices rapportées aux points conjugués, principaux et foyers), facilitant une étude préliminaire de systèmes encore plus complexes et permettant d’exposer, dans une dernière partie, une méthode de calcul global sur des systèmes optiques centrés plus complexes.
Un glossaire et un tableau des symboles utilisés sont présentés en fin d’article.
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KEYWORDS
optical matrix | lens | achromatic | optical systems | aspheric
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Glossaire8. Conclusion
Après avoir énoncé le principe et les limites de l’optique matricielle, cet article résume, sous forme de tableaux synthétiques, les différentes matrices décrivant des systèmes optiques élémentaires nécessaires à l’étude de dispositifs plus complexes. Au final, il offre une méthode de calcul, dont la mise en œuvre est résumée par un organigramme, afin de connaître les propriétés d’instruments optiques, telles que la distance focale effective, la position de l’image finale ou intermédiaire, ainsi que son agrandissement.
Même si cette méthode permet d’accéder rapidement aux propriétés d’un instrument, le calcul matriciel se limite à l’approximation de l’optique paraxiale pour des systèmes centrés autour de l’axe optique. Néanmoins, une théorie plus précise existe qui n’est pas traitée dans cet article : une extension basée sur les matrices 2 × 2 à des matrices 3 × 3 a été développée, introduisant un angle supplémentaire dû aux phénomènes de diffraction des surfaces planes ou des réseaux (ouvrage présenté en partie documentation de cet article).
Bien que l’obtention de résultats puisse être rapide, la méthode présentée dans cet article ne peut pas prétendre l’accès à toutes les propriétés d’un système optique par de simples multiplications. L’étude des aberrations et des matériaux anisotropes sort du cadre paraxial et n’est pas prise en compte par l’optique matricielle à l’aide de matrices 2 × 2, mais avec des matrices de plus grande dimension . La résolution numérique de l’équation eikonale (encadrés 1 et 2) est utilisée pour déduire le chemin exact des rayons. Cette méthode, communément appelée tracé de rayons ou ray tracing, est mise en œuvre dans des logiciels professionnels ou semi-professionnels permettant de « dessiner » les instruments optiques. Suivant leur...
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BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - Base de données des indices de réfraction : Mikhail Polyanskiy, - 2008-2016, http://refractive index.info/.
-
(2) - Tout Savoir sur les Lentilles Asphériques, - Edmund Optics, http://www.edmundoptics.fr/resources/application-notes/optics/all- about-aspheric-lenses/.
-
(3) - Fundamental Optics – CVI-Melles Griot, - Technical Guide, Vol 2, Issue 1, Page 1.3: 2009 https://www.google.fr/url?sa=t&rct=j&q=&esrc= s&source=web&cd=1&ved=0ahUKEwiYiua_ aHMAhVGcBoKHYQtAv4QFggkMAA&url= http%3A%2F%2Fwww.astro.caltech.edu% 2F~lah%2Fay105%2Fpdf%2FFundamental Optics.pdf&usg=AFQjCNGBTpQ asfWlQnabL25MukMlsIGQ1g&cad=rja.
-
(4) - Matériaux optiques-Newport - , http://www.newport.com/Mat%C3%83%C2% A9riauxoptiques/144943/1036/content.aspx.
-
(5) - Technical Notes – Newport, - , http://assets.newport.com/webdocumentsen/ images/how_to_build_a_beam_expander_5.pdf.
-
...
DANS NOS BASES DOCUMENTAIRES
-
Optique ondulatoire-Interférences. Diffraction. Polarisation.
-
Lumière et couleur.
-
Microscopie optique.
ANNEXES
-
Optics Learning by Computing, with Examples Using Mathcad, MATLAB, Mathematica, and Maple, second edition, Karl Dieter Moller, ISBN: 9780387261683, 454 pp, (2007)
-
Eugene Hecht, Optique, 5e édition, Adelphi University (Traduit en français), pages 261-266, 2015
-
Cours, avec des extensions sur le télescope/microscope en optique matricielle, la théorie matricielle 3x3 pour l’optique diffractive ou le « ray tracing » : Geometrical and Technical Optics – Lecture about the principles of geometrical and technical optics de Norbert Lindlein – Institute of Optics, Information and Photonics – (2007)
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