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Auteur(s)
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Stéphane PUYDARRIEUX : Expert en statistique appliquée, Direction technique – AREVA NC La Hague.
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Lire l’articleINTRODUCTION
Vous disposez d’un élément à mesurer/analyser : cet élément peut être une cale étalon, une solution étalon, un matériau de référence, une source étalon d’un radionucléide… ou un échantillon inconnu (prélevé au sein d’un lot, d’une série, d’une production…).
Vous vous intéressez à une propriété mesurable de cet élément. Cette propriété d’intérêt pourrait être « définie à un niveau de détail suffisant pour être raisonnablement représentée par une valeur vraie par essence unique » (guide ISO/CEI 98-4 : 2013).
Avant de réaliser la mesure de cette propriété d’intérêt, vous avez déjà une connaissance « a priori » de la valeur de mesure attendue, soit par des mesures antérieures de ce même mesurande (un étalon mesuré périodiquement…), soit par des mesures antérieures d’éléments similaires (lots antérieurs réalisés dans les mêmes conditions de production avec un processus sous contrôle…), soit par des résultats de codes de calculs ou de simulation numérique…
Cette fiche présente simplement comment l’approche bayésienne permet de prendre en compte cette connaissance « a priori » lors de l’estimation de la valeur vraie du mesurande et de l’incertitude associée à cette estimation. Elle montre également l’intérêt de la prise en compte de ces informations « a priori » et les limites de cet exercice.
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Les apports de l’approche bayésienne3. La prise en compte des « a priori » (approche bayésienne)
L’objectif de la démarche est de construire la loi de probabilité des valeurs vraies possibles. Cette loi de probabilité est fondamentalement différente de la loi de dispersion des mesures. La loi de dispersion des mesures est la loi de probabilité des valeurs de mesure « connaissant la valeur vraie ». Elle décrit un processus physique « fréquentiste ». La loi de probabilité des valeurs vraies possibles se construit « connaissant une ou plusieurs valeurs de mesure ». Il existe une confusion fréquente entre ces deux lois, car on utilise les mêmes outils mathématiques pour les construire, à savoir des lois de probabilité « conditionnelles ».
Schématiquement, dans l’approche bayésienne, la loi de probabilité des valeurs vraies possibles devient le « degré de croyance » de l’observateur. Ce degré de croyance est modélisé par une fonction de densité de probabilité conditionnelle qui dépend des informations disponibles. Ces informations sont de deux natures :
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la connaissance du mesurande (de la propriété d’intérêt) disponible avant la réalisation des mesures : les « a priori » ou « prior » bayésiens ;
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l’information supplémentaire apportée par les mesures
La combinaison des connaissances « a priori » (décrits/régis par des lois de probabilité) et des données d’observations (les mesures) permet de construire la loi de probabilité « a posteriori ». Cette loi « a posteriori » du mesurande donne la croyance en ses valeurs vraies possibles, pour un état de connaissances donné.
Les mesures permettent donc de mettre à jour la connaissance « avant mesures » (« loi de probabilité a priori »), pour obtenir une connaissance après mesures (« loi de probabilité a posteriori »).
La connaissance « a priori » du mesurande avant mesures (dans l’espace des valeurs vraies), la connaissance « a priori » des valeurs de mesure possibles (dans l’espace des mesures), la connaissance des valeurs de mesures réalisées (dans l’espace des mesures), et la connaissance du mesurande « a posteriori » (dans l’espace des valeurs vraies) sont des fonctions de densité de probabilité...
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La prise en compte des « a priori » (approche bayésienne)
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Bolstad (W.) - Introduction to Bayesian statistics. Wiley 2007
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Box (G.E.P.) and Tiao (G.C) - Bayesian inference in statistical analysis. Wiley Classics Library, 1992
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D’Agostini (G.) - Bayesian reasoning in data analysis. World Scientific Publishing, 2003
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Gregory (P.) - Bayesian logical analysis for the physical sciences. Cambridge UniversityPress, 2005
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ISO/CEI Guide 98-3 : Incertitude de mesure – Partie 3 : Guide pour l’expression de l’incertitude de mesure (GUM : 1995), 2008
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ISO/CEI Guide 98-4 : Incertitude de mesure – Partie 4 : Rôle de l’incertitude de mesure dans l’évaluation de la conformité, 2013. Approche bayésienne et déclaration de conformité : le guide ISO/CEI 98-4 (2013) permet d’approfondir les notions de risques client et de risques fournisseurs (détermination du risque global et du risque spécifique)
-
Jeffrey (H.) - Theory of probability. Clarendon Press, Oxford, 1983
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Vivier (A.) and Aupiais (J.) - Optimization of the decision threshold for single radioactive counting. Radiochim. Acta 95, 477-492 (2007)
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Vivier A. Puydarrieux S. & al : Analyse probabiliste des mesures nucléaires à bas niveau – partie 1 : approche bayésienne sous hypothèse poissonienne. Spectra Analyse n° 302 (2015)
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