Construction de schéma DF pour les opérateurs du 2e ordre (elliptiques)
Approximation des équations aux dérivées partielles

A550 v1 Article de référence

Construction de schéma DF pour les opérateurs du 2e ordre (elliptiques)
Approximation des équations aux dérivées partielles

Auteur(s) : Guy CHAVENT

Date de publication : 10 août 1993 | Read in English

Cet article est réservé aux abonnés

Pour explorer cet article plus en profondeur Consulter l'extrait gratuit

Déjà abonné ?Se connecter

Sommaire
Médias

Présentation

1 - Qu’est-ce qu’un schéma aux différences finies ?

1.1 - Différences finies pour les problèmes stationnaires
1.2 - Discrétisation en temps des problèmes d’évolution

2 - Consistance, précision ou ordre, stabilité d’un schéma DF

2.1 - Consistance, précision ou ordre d’un schéma
2.2 - Stabilité pour un problème d’évolution linéaire

3 - Construction de schéma DF pour les opérateurs du 2e ordre (elliptiques)

3.1 - Approximation de la solution sur une maille : une constante plus une valeur par arête
3.2 - Approximation du flux sur une maille : espace de Raviart-Thomas
3.3 - Équation dans une maille
3.4 - Conditions de raccord et conditions aux limites
3.5 - Schéma aux différences finies
3.6 - Remarques, généralisation

4 - Construction de schéma DF pour les opérateurs du 1er ordre (transport)

4.1 - Notion de caractéristique
4.2 - Conditions aux limites et initiales
4.3 - Méthode de transport-projection
4.4 - Schéma décentré amont pour les problèmes linéaires
4.5 - Schéma de Godunov pour les problèmes non linéaires

Bibliographie & annexes

Présentation

Auteur(s)

Guy CHAVENT : Professeur de Mathématiques à l’Université de Paris-Dauphine - Directeur Scientifique à l’Institut National de Recherches en Informatique et en Automatique (INRIA-Rocquencourt)

Lire cet article issu d'une ressource documentaire complète, actualisée et validée par des comités scientifiques.

Lire l’article

INTRODUCTION

On s’intéresse dans cet article à la discrétisation des équations aux dérivées partielles, dans lesquelles l’inconnue est une fonction u (la température par exemple) dépendant de plusieurs variables d’espace x₁ … x_n (notées x de façon abrégée) et du temps t. On appellera Ω le domaine de l’espace et [0, T] l’intervalle de temps où l’on cherche à connaître la température. Ainsi l’évolution de la température (u (x, t )) dans une barre infinie $(Ω = ℝ)$ et homogène à partir d’une température initiale (u₀ (x )) connue est-elle donnée par :

\begin{array}{l} c \frac{\partial u}{\partial t} (x, t) - a \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} (x, t) = 0 pour tout x \in Ω et tout t \in [0, T] \\ u (x, 0) = u_{0} (x) pour tout x \in Ω \end{array}}

^( 1 )

où c est la capacité thermique et a est la conductivité thermique de la barre. La méthode des différences finies a été, historiquement, la première méthode connue pour calculer, sur un ordinateur, une solution approchée de [1]. L’idée consistait à remplacer la recherche de la fonction u (x, t ) par celle d’un vecteur ( $u_{i}^{n}$ , i = …– 2, – 1,0,1,2… ; n = 0,1,2…) dont la composante $u_{i}^{n}$ représentait une approximation de u (x, t) au point (x_i , t ⁿ) d’un maillage couvrant Ω × [0,T] (nous noterons que n représente un indice et non un exposant !). Par exemple, si l’on choisit :

x_i = i h,[nbsp ]t ⁿ = n Δ t

où h > 0 et Δt > 0 représentent les pas de discrétisation en espace et en temps, alors une approximation aux différences finies de [1] est :

\begin{array}{l} c \frac{u_{i}^{n + 1} - u_{i}^{n}}{Δ t} + a \frac{2 u_{i}^{n} - u_{i - 1}^{n} - u_{i + 1}^{n}}{h^{2}} = 0 \\ i = \dots - 2, - 1, 0, 1, 2 \dots, n = 0, 1, 2 \dots \\ u_{i}^{0} = u_{i 0} i = \dots - 2, - 1, 0, 1, 2 \dots \end{array}

^( 2 )

Aujourd’hui, de nombreuses autres méthodes d’approximation sont apparues (éléments finis, méthodes spectrales, volumes finis…) mais les schémas aux différences finies gardent une grande importante pratique, en particulier de par leur grande facilité de mise en œuvre et leur efficacité numérique, surtout du point de vue du temps de calcul.

Cet article est réservé aux abonnés.
Il vous reste 92 % à découvrir.

Pour explorer cet article Consulter l'extrait gratuit

Déjà abonné ? Se connecter

DOI (Digital Object Identifier)

https://doi.org/10.51257/a-v1-a550

Lecture en cours
Présentation

Page
suivante

Construction de schéma DF pour les opérateurs du 1er ordre (transport)

Article inclus dans l'offre

"Mathématiques"

(170 articles)

Une base complète d’articles

Actualisée et enrichie d’articles validés par nos comités scientifiques.

Des contenus enrichis

Quiz, médias, tableaux, formules, vidéos, etc.

Des modules pratiques

Opérationnels et didactiques, pour garantir l'acquisition des compétences transverses.

Des avantages inclus

Un ensemble de services exclusifs en complément des ressources.

Voir l'offre

3. Construction de schéma DF pour les opérateurs du 2e ordre (elliptiques)

On va développer dans ce paragraphe une approximation aux différences finies pour le problème :

\begin{array}{l} trouver la fonction u : Ω \to ℝ telle que \\ - \nabla \cdot (a \nabla u) = f dans Ω \\ u = u_{e} sur \partial Ω_{D} \\ a \frac{\partial u}{\partial ν} = g sur \partial Ω_{N} \\ lorsque a : Ω \to ℝ, f : Ω \to ℝ, u_{e} : \partial Ω_{D} \to ℝ, \\ g : \partial Ω_{N} \to ℝ sont connus \end{array}}

^( 33 )

où...