Présentation

Article

1 - QU’EST-CE QU’UN SCHÉMA AUX DIFFÉRENCES FINIES ?

2 - CONSISTANCE, PRÉCISION OU ORDRE, STABILITÉ D’UN SCHÉMA DF

  • 2.1 - Consistance, précision ou ordre d’un schéma
  • 2.2 - Stabilité pour un problème d’évolution linéaire

3 - CONSTRUCTION DE SCHÉMA DF POUR LES OPÉRATEURS DU 2E ORDRE (ELLIPTIQUES)

4 - CONSTRUCTION DE SCHÉMA DF POUR LES OPÉRATEURS DU 1ER ORDRE (TRANSPORT)

Article de référence | Réf : A550 v1

Construction de schéma DF pour les opérateurs du 2e ordre (elliptiques)
Approximation des équations aux dérivées partielles

Auteur(s) : Guy CHAVENT

Date de publication : 10 août 1993

Pour explorer cet article
Télécharger l'extrait gratuit

Vous êtes déjà abonné ?Connectez-vous !

Sommaire

Présentation

Version en anglais En anglais

Auteur(s)

  • Guy CHAVENT : Professeur de Mathématiques à l’Université de Paris-Dauphine - Directeur Scientifique à l’Institut National de Recherches en Informatique et en Automatique (INRIA-Rocquencourt)

Lire cet article issu d'une ressource documentaire complète, actualisée et validée par des comités scientifiques.

Lire l’article

INTRODUCTION

On s’intéresse dans cet article à la discrétisation des équations aux dérivées partielles, dans lesquelles l’inconnue est une fonction u (la température par exemple) dépendant de plusieurs variables d’espace x1 ... xn (notées x de façon abrégée) et du temps t. On appellera Ω le domaine de l’espace et [0, T] l’intervalle de temps où l’on cherche à connaître la température. Ainsi l’évolution de la température (u (x, t )) dans une barre infinie et homogène à partir d’une température initiale (u0 (x )) connue est-elle donnée par :

( 1 )

où c est la capacité thermique et a est la conductivité thermique de la barre. La méthode des différences finies a été, historiquement, la première méthode connue pour calculer, sur un ordinateur, une solution approchée de [1]. L’idée consistait à remplacer la recherche de la fonction u (x, t ) par celle d’un vecteur ( , i = ...– 2, – 1,0,1,2... ; n = 0,1,2...) dont la composante représentait une approximation de u (x, t) au point (xi , t n) d’un maillage couvrant Ω × [0,T] (nous noterons que n représente un indice et non un exposant !). Par exemple, si l’on choisit :

xi = i h, t n = n Δ t

où h > 0 et Δt > 0 représentent les pas de discrétisation en espace et en temps, alors une approximation aux différences finies de [1] est :

( 2 )

Aujourd’hui, de nombreuses autres méthodes d’approximation sont apparues (éléments finis, méthodes spectrales, volumes finis...) mais les schémas aux différences finies gardent une grande importante pratique, en particulier de par leur grande facilité de mise en œuvre et leur efficacité numérique, surtout du point de vue du temps de calcul.

Cet article est réservé aux abonnés.
Il vous reste 94% à découvrir.

Pour explorer cet article
Téléchargez l'extrait gratuit

Vous êtes déjà abonné ?Connectez-vous !


L'expertise technique et scientifique de référence

La plus importante ressource documentaire technique et scientifique en langue française, avec + de 1 200 auteurs et 100 conseillers scientifiques.
+ de 10 000 articles et 1 000 fiches pratiques opérationnelles, + de 800 articles nouveaux ou mis à jours chaque année.
De la conception au prototypage, jusqu'à l'industrialisation, la référence pour sécuriser le développement de vos projets industriels.

DOI (Digital Object Identifier)

https://doi.org/10.51257/a-v1-a550


Cet article fait partie de l’offre

Mathématiques

(166 articles en ce moment)

Cette offre vous donne accès à :

Une base complète d’articles

Actualisée et enrichie d’articles validés par nos comités scientifiques

Des services

Un ensemble d'outils exclusifs en complément des ressources

Un Parcours Pratique

Opérationnel et didactique, pour garantir l'acquisition des compétences transverses

Doc & Quiz

Des articles interactifs avec des quiz, pour une lecture constructive

ABONNEZ-VOUS

Version en anglais En anglais

3. Construction de schéma DF pour les opérateurs du 2e ordre (elliptiques)

On va développer dans ce paragraphe une approximation aux différences finies pour le problème :

( 33 )

Ω est un domaine de recouvert par une famille de mailles rectangulaires de côtés parallèles aux axes 1.1.2, et où ¶ ΩD et ¶ ΩN forment une partition du bord ¶ Ω de Ω, correspondant aux conditions aux limites de Dirichlet (u imposé) et de Neumann (flux a ¶u / ¶ν imposé).

On suppose que le maillage a été choisi adapté aux conditions aux limites, c’est‐à‐dire que ¶ ΩD et ¶ ΩN sont chacune formées exactement d’un certain nombre d’arêtes de (figure 4).

Dans un problème tel que [33] les inconnues physiquement significatives sont :

Cet article est réservé aux abonnés.
Il vous reste 92% à découvrir.

Pour explorer cet article
Téléchargez l'extrait gratuit

Vous êtes déjà abonné ?Connectez-vous !


L'expertise technique et scientifique de référence

La plus importante ressource documentaire technique et scientifique en langue française, avec + de 1 200 auteurs et 100 conseillers scientifiques.
+ de 10 000 articles et 1 000 fiches pratiques opérationnelles, + de 800 articles nouveaux ou mis à jours chaque année.
De la conception au prototypage, jusqu'à l'industrialisation, la référence pour sécuriser le développement de vos projets industriels.

Cet article fait partie de l’offre

Mathématiques

(166 articles en ce moment)

Cette offre vous donne accès à :

Une base complète d’articles

Actualisée et enrichie d’articles validés par nos comités scientifiques

Des services

Un ensemble d'outils exclusifs en complément des ressources

Un Parcours Pratique

Opérationnel et didactique, pour garantir l'acquisition des compétences transverses

Doc & Quiz

Des articles interactifs avec des quiz, pour une lecture constructive

ABONNEZ-VOUS

Lecture en cours
Construction de schéma DF pour les opérateurs du 2e ordre (elliptiques)
Sommaire
Sommaire

BIBLIOGRAPHIE

  • (1) - BRENIER (Y.), HENNART (J.-P.) -   Introduction to numerical hyperbolic equations.  -  Cours IIMAS-UNAM. Mexico DF, Mexique (1983).

  • (2) - CIARLET (P.G.) -   Introduction à l’analyse numérique matricielle et à l’optimisation.  -  Masson (1982).

  • (3) - CIARLET (P.G.), THOMAS (J.M.) -   Exercices d’analyse numérique matricielle et d’optimisation.  -  Masson (1982).

  • (4) - GEORGE (P.L.) -   Génération automatique de maillages – Applications aux méthodes d’éléments finis.  -  Masson, RMA 16 (1991).

  • (5) - JEFFREY (A.) -   Quasilinear hyperbolic systems and waves.  -  Pitman, London (1976).

  • (6) - PIRONNEAU (O.) -   Méthodes des éléments finis pour les fluides.  -  Masson, RMA 17 (1988).

  • ...

Cet article est réservé aux abonnés.
Il vous reste 94% à découvrir.

Pour explorer cet article
Téléchargez l'extrait gratuit

Vous êtes déjà abonné ?Connectez-vous !


L'expertise technique et scientifique de référence

La plus importante ressource documentaire technique et scientifique en langue française, avec + de 1 200 auteurs et 100 conseillers scientifiques.
+ de 10 000 articles et 1 000 fiches pratiques opérationnelles, + de 800 articles nouveaux ou mis à jours chaque année.
De la conception au prototypage, jusqu'à l'industrialisation, la référence pour sécuriser le développement de vos projets industriels.

Cet article fait partie de l’offre

Mathématiques

(166 articles en ce moment)

Cette offre vous donne accès à :

Une base complète d’articles

Actualisée et enrichie d’articles validés par nos comités scientifiques

Des services

Un ensemble d'outils exclusifs en complément des ressources

Un Parcours Pratique

Opérationnel et didactique, pour garantir l'acquisition des compétences transverses

Doc & Quiz

Des articles interactifs avec des quiz, pour une lecture constructive

ABONNEZ-VOUS