Consistance, précision ou ordre, stabilité d’un schéma DF
Approximation des équations aux dérivées partielles

A550 v1 Article de référence

Consistance, précision ou ordre, stabilité d’un schéma DF
Approximation des équations aux dérivées partielles

Auteur(s) : Guy CHAVENT

Date de publication : 10 août 1993 | Read in English

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Sommaire
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1 - Qu’est-ce qu’un schéma aux différences finies ?

1.1 - Différences finies pour les problèmes stationnaires
1.2 - Discrétisation en temps des problèmes d’évolution

2 - Consistance, précision ou ordre, stabilité d’un schéma DF

2.1 - Consistance, précision ou ordre d’un schéma
2.2 - Stabilité pour un problème d’évolution linéaire

3 - Construction de schéma DF pour les opérateurs du 2e ordre (elliptiques)

3.1 - Approximation de la solution sur une maille : une constante plus une valeur par arête
3.2 - Approximation du flux sur une maille : espace de Raviart-Thomas
3.3 - Équation dans une maille
3.4 - Conditions de raccord et conditions aux limites
3.5 - Schéma aux différences finies
3.6 - Remarques, généralisation

4 - Construction de schéma DF pour les opérateurs du 1er ordre (transport)

4.1 - Notion de caractéristique
4.2 - Conditions aux limites et initiales
4.3 - Méthode de transport-projection
4.4 - Schéma décentré amont pour les problèmes linéaires
4.5 - Schéma de Godunov pour les problèmes non linéaires

Bibliographie & annexes

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Auteur(s)

Guy CHAVENT : Professeur de Mathématiques à l’Université de Paris-Dauphine - Directeur Scientifique à l’Institut National de Recherches en Informatique et en Automatique (INRIA-Rocquencourt)

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INTRODUCTION

On s’intéresse dans cet article à la discrétisation des équations aux dérivées partielles, dans lesquelles l’inconnue est une fonction u (la température par exemple) dépendant de plusieurs variables d’espace x₁ … x_n (notées x de façon abrégée) et du temps t. On appellera Ω le domaine de l’espace et [0, T] l’intervalle de temps où l’on cherche à connaître la température. Ainsi l’évolution de la température (u (x, t )) dans une barre infinie $(Ω = ℝ)$ et homogène à partir d’une température initiale (u₀ (x )) connue est-elle donnée par :

\begin{array}{l} c \frac{\partial u}{\partial t} (x, t) - a \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} (x, t) = 0 pour tout x \in Ω et tout t \in [0, T] \\ u (x, 0) = u_{0} (x) pour tout x \in Ω \end{array}}

^( 1 )

où c est la capacité thermique et a est la conductivité thermique de la barre. La méthode des différences finies a été, historiquement, la première méthode connue pour calculer, sur un ordinateur, une solution approchée de [1]. L’idée consistait à remplacer la recherche de la fonction u (x, t ) par celle d’un vecteur ( $u_{i}^{n}$ , i = …– 2, – 1,0,1,2… ; n = 0,1,2…) dont la composante $u_{i}^{n}$ représentait une approximation de u (x, t) au point (x_i , t ⁿ) d’un maillage couvrant Ω × [0,T] (nous noterons que n représente un indice et non un exposant !). Par exemple, si l’on choisit :

x_i = i h,[nbsp ]t ⁿ = n Δ t

où h > 0 et Δt > 0 représentent les pas de discrétisation en espace et en temps, alors une approximation aux différences finies de [1] est :

\begin{array}{l} c \frac{u_{i}^{n + 1} - u_{i}^{n}}{Δ t} + a \frac{2 u_{i}^{n} - u_{i - 1}^{n} - u_{i + 1}^{n}}{h^{2}} = 0 \\ i = \dots - 2, - 1, 0, 1, 2 \dots, n = 0, 1, 2 \dots \\ u_{i}^{0} = u_{i 0} i = \dots - 2, - 1, 0, 1, 2 \dots \end{array}

^( 2 )

Aujourd’hui, de nombreuses autres méthodes d’approximation sont apparues (éléments finis, méthodes spectrales, volumes finis…) mais les schémas aux différences finies gardent une grande importante pratique, en particulier de par leur grande facilité de mise en œuvre et leur efficacité numérique, surtout du point de vue du temps de calcul.

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DOI (Digital Object Identifier)

https://doi.org/10.51257/a-v1-a550

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2. Consistance, précision ou ordre, stabilité d’un schéma DF

Un schéma aux différences finies doit, pour être utilisable, satisfaire nécessairement au moins deux conditions.

Le schéma doit être consistant, c’est‐à‐dire que l’équation approchée doit ressembler à l’équation continue que l’on veut résoudre. Il est espéré que cette propriété entraîne que le schéma est convergent, c’est‐à‐dire que la solution discrète U_h converge, lorsque la discrétisation est affinée (h → 0) vers la solution exacte U. La consistance d’un schéma est, comme nous le verrons 2.1 , une propriété facile à vérifier par des calculs élémentaires, alors que la preuve de la convergence d’un schéma est beaucoup plus délicate, et souvent impossible pour des systèmes trop complexes. Il faut noter en outre que la vérification de la consistance se fait en pratique en évaluant la précision ou l’ordre avec lequel l’équation discrète approche l’équation continue. Là encore, il est espéré que cet ordre sur l’équation du schéma coïncidera avec l’ordre de convergence sur la solution, c’est‐à‐dire la puissance de h avec laquelle une norme convenable de u_h – u converge vers zéro. La détermination de l’ordre de convergence d’un schéma se fait par des techniques similaires à celles utilisées pour prouver la convergence du schéma, et est donc une opération difficile. Bien qu’il n’y ait pas de théorie générale, nos deux espoirs (consistance ⇒ convergence, ordre du schéma en équation = ordre de convergence du schéma) sont vérifiés dans plusieurs cas particuliers. Nous nous limitons ici à l’étude de la consistance et de l’ordre en équation, renvoyant le lecteur à l’article Méthode des éléments finis [A 656] et à la littérature (voir paragraphes ...

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