Bibliographie & annexes
Présentation
RÉSUMÉ
Un système peut évoluer au cours du temps sous l'effet d'influences externes et internes, on peut définir alors une entrée et une sortie. Lorsque la sortie dépend linéairement de l'entrée, on parle de contrôle linéaire. L'idée de base des méthodes de ce type de contrôle est de déterminer une fonction objectif qui est linéaire et des contraintes qui sont des inégalités matricielles linéaires. Cet article présente les notions de base du contrôle linéaire, puis expose les différentes paramètres entre autres la contrôlabilité, l’observabilité, la représentation canonique, et la réduction de modèle, permettant d'aborder ce concept.
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As a system may evolve over time under the effects of external and internal influences, an entrance and an exit can be defined. When the exit depends linearly on the entrance, it is referred to as linear control. The basic concept for this type of control procedures is to determine an objective function that is linear and constraints that are linear matrix inequalities. This article presents the basic concepts of linear control and outlines the various parameters such as controllability, observability, canonical representation and model reduction, which make it possible to approach this concept.
Auteur(s)
-
Claude BREZINSKI : Professeur à l’université des sciences et technologies de Lille
INTRODUCTION
De nombreux systèmes physiques évoluent au cours du temps sous l’effet d’influences externes et internes. Ils se comportent comme des boîtes noires : ils reçoivent une entrée, elle est ensuite transformée selon certaines lois (en général une équation différentielle) et l’on observe une sortie. Le problème consiste à réguler l’entrée, à la contrôler afin d’obtenir la sortie désirée. Le fait de modifier l’entrée selon la sortie obtenue s’appelle, en anglais, feedback. Ce mot est traduit en français par retour, ou bouclage, ou encore rétroaction. La théorie du contrôle étudie de tels systèmes dynamiques. Lorsque la sortie dépend linéairement de l’entrée, on parle de contrôle linéaire. Dans le cas contraire, il est non linéaire et ne sera pas traité ici.
L’ idée de base des méthodes de contrôle linéaire consiste à exprimer un problème de contrôle comme un problème d’optimisation avec une fonction objectif qui est linéaire et des contraintes qui sont des inégalités matricielles linéaires.
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Effets de la précision finie12. Contrôle optimal
On peut résoudre le problème du contrôle de deux façons différentes : le placement des pôles, étudié au paragraphe 9.3, et le contrôle optimal qui consiste à trouver u qui minimise une certaine fonctionnelle. Selon le choix de cette fonctionnelle, on obtient plusieurs problèmes de contrôle optimal.
-
Le contrôle ILC (Iterative Learning Control) consiste à rendre y le plus voisin possible d’une fonction donnée f. On est ainsi conduit au problème de minimisation minu ││y – f ││.
Puisque y = Cx, ce problème est implicitement équivalent à la résolution au sens des moindres carrés du système d’équations linéaires : Cx = f, c’est-à-dire CTCx = CTf.
En général, ce système est mal conditionné et une petite variation des données f peut entraîner une grande variation de sa solution x. Il faut le régulariser, ce qui conduit au problème de minimisation :
![]()
où λ est un paramètre et H une matrice.
On peut aussi résoudre le problème de minimisation minu ││y – f ││ approximativement à l’aide d’une procédure itérative : on part d’une certaine entrée u que l’on raffine d’après l’essai et ce jusqu’à un niveau de performance acceptable.
-
Le contrôle LQR (Linear Quadratic Regulator) consiste à minimiser la fonctionnelle de coût :
![]()
avec :
- Q et R :
- matrices réelles symétriques définies positives.
Il existe alors un unique contrôle optimal u* qui minimise J. C’est une fonction linéaire du vecteur d’état u*(t) = –R –1BTPx(t),...
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Contrôle optimal
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - BAI (Z.), FELDMANN (P.), FREUND (R.W) - Stable and passive reduced-order models based on partial Padé approximation via Lanczos process. - Numerical Analysis Manuscript no 97-3-10, Bell Laboratories, Murray Hill, New Jersey, USA (1997).
-
(2) - BAI (Z.) , FREUND (R.W.) - A partial Padé-via-Lanczos method for reduced-order modeling. - Linear Algebra Appl., 332, p. 139-164 (2001).
-
(3) - BARNETT (S.), CAMERON (R.G.) - Introduction to mathematical control theory. - 2nd édition, Clarendon Press, Oxford (1985).
-
(4) - BELL (D.J.) - Mathematics of linear and nonlinear systems. - Clarendon Press, Oxford (1990).
-
(5) - BORNE (P.), DAUPHIN-TANGUY (G.), RICHARD (J.P.), ROTELLA (F.) , ZAMBETTAKIS (I.) - Commande et optimisation des processus. - Éditions Technip, Paris (1990).
-
(6) - BOYD (S.), GHAOUI (L.), FERON (E.), BALAKRISHNAN (V.) - Linear...
ANNEXES
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YI LIU - On model reduction fo distributed parameter models - . KTH, Stockholm (Suède) (2005).
HAUT DE PAGE
Il existe de nombreux logiciels pour le contrôle. Beaucoup d’entre eux sont spécifiques pour une certaine application, un certain domaine, comme l’industrie aérospatiale. La plupart d’entre eux sont commerciaux et donc payants.
Les logiciels des plus utilisés sont ceux de MATLAB→ avec un grand nombre de boîtes à outils qui couvrent la majorité des méthodes de conception,...
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