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RÉSUMÉ
L'algèbre de Boole est une structure mathématique se rapportant à la manipulation des propositions et variables logiques à travers des équations. Les énoncés VRAI et FAUX y sont représentés par des valeurs binaires, tandis que les termes ET et OU deviennent des opérateurs de multiplication et d’addition. L'algèbre de Boole est au cœur de la logique mathématique, de la théorie des ensembles et de la théorie de l'information. Elle est utilisée aussi bien en mathématiques qu'en physique, et veille également aux fondements de l’informatique. Aujourd'hui les applications sont nombreuses, notamment en électronique et en télécommunications.
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Boolean algebra is a mathematical structure related to the usage of propositions and logical variables through equations. The TRUE and FALSE statements are represented by binary values and the terms AND and OR have become mutiplication and addition operators. Boolealn algebra is at the core of mathematical logic, the set theory and the information theory. It is used both in mathematics and physics and is also at the basis of IT. Its applications are numerous, notably in electronics and telecommunications
Auteur(s)
-
Jean VUILLEMIN : Professeur d'informatique à l'École normale supérieure
INTRODUCTION
Le livre An Investigation of the Laws of Thought de George Boole donne les règles de ce qu'on appelle l'algèbre de Boole. Depuis 1854, le sujet a trouvé d'importantes applications, en mathématiques d'abord, puis en physique, en informatique et dans les télécommunications. L'algèbre de Boole fait maintenant partie des fondements théoriques de toutes ces disciplines. L'évaluation massive de formules booléennes, des milliards de fois chaque nanoseconde, par des puces électroniques, est l'une des clés de notre brave nouveau siècle numérique. La vérification automatique de formules booléennes massives (des millions de portes) est une autre clé dans la conception fiable de divers systèmes numériques critiques.
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Conclusion3. Pratique
Les tous premiers circuits étaient dessinés et optimisé à la main : chaque porte et chaque transistor économisé représente alors des dollars en moins dans le coût de fabrication de chaque puce.
Il reste vrai que tout gain dans la surface du circuit fait baisser le coût unitaire de fabrication des puces, et ce d’autant plus que le volume de production est grand. Mais, vu la taille des circuits actuels, toutes ces étapes d’optimisation de bas niveau sont maintenant entièrement automatiques. Une des clés de ce processus est la manipulation et la réduction automatique de formules booléennes, dont la taille est nécessairement aussi grande que celle des circuits à réaliser.
Contentons nous ici d’évoquer trois aspects de ce sujet :
1. La synthèse automatique des circuits prédiffusés à partir de leur « netlist » ;
2. La synthèse automatique de circuits arithmétiques ;
3. La forme normale BDD des circuits.
3.1 Circuit électronique
La base nor est difficile à manipuler, pour les humains. Pourtant, la porte nor joue un rôle technologique historiquement important, car il suffit de quatre transistors cMOS pour la réaliser (figure 9a). Comme elle est petite, elle est rapide. Enfin, cette porte forme – à elle seule – une base de l’algèbre de Boole (section 2.1.3) : toute fonction booléenne peut se calculer en combinant exclusivement les entrées par des portes nor (figure 9b).
Les premiers circuits prédiffusés sont alors des matrices denses de portes nor (figure 8). Les couches de fabrication – jusqu’au métal non compris – sont préalablement diffusées sur des composants identiques, tirés en très grande série. La métallisation se fait ensuite sur des lots spécifiques à chaque client ; c’est la structure...
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