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1 - PRÉAMBULE

  • 1.1 - Éléments historiques
  • 1.2 - Branches des mathématiques concernées
  • 1.3 - Intérêts théoriques et pratiques
  • 1.4 - Lectorat et conseil de lecture

2 - EXEMPLES D’ESPACES GÉNÉRIQUES BASIQUES

  • 2.1 - Topologie sur l’ensemble vide …
  • 2.2 - Topologies grossières …
  • 2.3 - Topologies discrètes …
  • 2.4 - Topologies finies …
  • 2.5 - Topologies co-finies …
  • 2.6 - Topologies co-dénombrables …
  • 2.7 - Topologies à point particulier …
  • 2.8 - Topologies à point exclus …
  • 2.9 - Topologies emboitées
  • 2.10 -  Double d’Alexandroff d’un espace topologique (1922) …

3 - DROITES NATURELLES, RATIONNELLE, IRRATIONNELLE, ET DIGITALE

  • 3.1 - La droite naturelle …
  • 3.2 - La droite naturelle co-finie …
  • 3.3 - La droite naturelle d’Appert (1934) …
  • 3.4 - La droite digitale de Khalimski (1969) …
  • 3.5 - Le segment de Dowker (1955) …
  • 3.6 - La droite rationnelle …
  • 3.7 - La droite irrationnelle …

4 - VARIÉTÉS TOPOLOGIQUES

  • 4.1 - Espaces topologiques localement euclidiens
  • 4.2 - Variétés topologiques m-dimensionnelles

5 - DROITES RÉELLES ET RÉELLE ÉTENDUE

  • 5.1 - La droite réelle euclidienne …
  • 5.2 - La droite réelle co-finie …
  • 5.3 - La droite réelle co-dénombrable …
  • 5.4 - La droite réelle co-compacte de Groot (1967) …
  • 5.5 - La droite réelle bouclée …
  • 5.6 - La droite réelle de Sorgenfrey (1947) …
  • 5.7 - La droite réelle clairsemée de Michael (1963) …
  • 5.8 - La droite réelle de Smirnov (début années 1930) …
  • 5.9 - La droite réelle à deux origines d’Alexandroff et Urysohn (1929) …
  • 5.10 -   La droite réelle avec la topologie des suites rationnelles …
  • 5.11 -  La droite réelle étendue …

6 - LES DROITES ORDINALES ET LONGUES

  • 6.1 - Les droites ordinales … et …
  • 6.2 - Les rayons longs de Cantor (1883) … et …
  • 6.3 - Les droites longues d’Alexandroff (1929) …

7 - PLANS NATURELS, DIGITAL, ET RATIONNEL

  • 7.1 - Le plan d’Arens (1950) et Fort …
  • 7.2 - Le plan digital de Marcus, Wyse et al. (1970) …

8 - PLANS RÉELS

  • 8.1 - Le plan réel euclidien …
  • 8.2 - Le plan réel radial de Bing (1951) …
  • 8.3 - Le plan réel à segments radiaux de Bing (1951) …
  • 8.4 - Le plan réel des offices postaux … et la métrique de Paris dP
  • 8.5 - Le plan réel jungle/rivière … et sa métrique djr
  • 8.6 - Le plan réel de Sorgenfrey (1947) …
  • 8.7 - Le demi-plan réel à semi-disques …
  • 8.8 - Le plan réel fissuré …
  • 8.9 - Le plan réel de Mysior (1981) …
  • 8.10 -  Le demi-plan réel de Moore (1926), de Niemytzki (1928) et de van Dantzig (1932) …
  • 8.11 -  Le plan réel « papillon » de mac Auley … (1956)
  • 8.12 -  Le plan réel « nœud papillon » de Heath … (1966)

9 - PLANS ORDINAUX, LES PLANCHES DE TYCHONOFF … (1930) ET …

10 -  COURBES PLANAIRES

11 -  OBJETS PLANAIRES

12 -  OBJETS FRACTALS

13 -  AUTRES OBJETS PLANAIRES

14 -  CONCLUSION

Article de référence | Réf : AF122 v1

Exemples en topologie I - Droites, plans, courbes et objets planaires

Auteur(s) : Jean-Charles PINOLI

Relu et validé le 07 mai 2021

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RÉSUMÉ

La topologie générale est la branche des mathématiques qui traite des notions fondamentales utilisées en topologie et de leurs propriétés. Les intérêts théoriques et applicatifs se situent dans toutes les branches de l’analyse et de la géométrie, et dans de nombreuses autres disciplines scientifiques. Cet article consiste en une première liste de plus de 70 espaces topologiques et métriques particuliers dont les propriétés ou non-propriétés sont des exemples ou contre-exemples détaillés relatives aux notions topologiques et métriques présentés dans les articles précédents. Cette liste est composée de droites, plans, courbes et autres objets planaires.

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ABSTRACT

Example in Topology I. Lines, Planes, Curves, and Planar Objects

General topology is the branch of mathematics that deals with the fundamental notions used in topology, and their properties. Its theoretical and applicational utility is found in all branches of analysis and geometry, and in many other scientific disciplines. This article presents a first list of more than 70 special topological and metric spaces whose properties or non-properties are detailed examples or counter-examples related to the topological and metric concepts presented in previous articles. This list comprises straight lines, planes, curves and other planar objects.

Auteur(s)

  • Jean-Charles PINOLI : Professeur - École Nationale Supérieure des Mines de Saint-Étienne, Saint-Étienne, France -

INTRODUCTION

La topologie générale est présentée en une série de six articles ; les deux premiers [AF 97] [AF 98] portant sur les espaces topologiques, les deux suivants [AF 120] [AF 121] sur les espaces métriques, et les deux derniers [AF 122] [AF 123] détaillant près de 150 exemples d’espaces topologiques/métriques possédant ou non les différentes notions topologiques/métriques présentées dans les articles susmentionnés.

En raison d’expressions mathématiques « complexes » incompatibles avec les niveaux de titres HTML, les titres complets des sections figureront au premier alinéa sous les titres tronqués.

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KEYWORDS

curves   |   manifolds   |   topological vector spaces   |   planar objects

DOI (Digital Object Identifier)

https://doi.org/10.51257/a-v1-af122


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BIBLIOGRAPHIE

  • (1) - AARTS (J.M.), NISHIURA (T.) -   Dimension and Extensions,  -  North Holland, 331 pages (1993).

  • (2) - ADAMS (C.), FRANZOSA (R.) -   Introduction to Topology Pure and Applied,  -  Pearson, 507 pages (2008).

  • (3) - ADAMSON (I.T.) -   A General Topology Workbook,  -  Springer, 152 pages (1993).

  • (4) - ALEXANDROFF (P.), URYSOHN (P.) -   Mémoire sur les espaces topologiques compacts, Verhandelingen der Koninklijke Nederl. Akademie van Wetenschappen te Amsterdam,  -  Sect. I, 14, pp. 1-96 (1929).

  • (5) - AMBROSIO (L.), TILLI (P.) -   Topics on Analysis in Metric Spaces,  -  Oxford University Press, 133 pages (2004).

  • (6) - APPERT (A.) -   Propriétés des espaces abstraits les plus généraux : Ensembles ouverts, fermés,...

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Entraînez vous autant que vous le voulez avec les quiz d'entraînement.

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Lorsque vous êtes prêt, vous passez le test de validation. Vous avez deux passages possibles dans un laps de temps de 30 jours.

Entre les deux essais, vous pouvez consulter l’article et réutiliser les quiz d'entraînement pour progresser. L’attestation vous est délivrée pour un score minimum de 70 %.


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