Exemples en topologie II - Espaces produits, de vecteurs, de suites, de fonctions et de sous-ensembles : Dossier complet | Techniques de l’Ingénieur

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Exemples en topologie II - Espaces produits, de vecteurs, de suites, de fonctions et de sous-ensembles

Auteur(s) : Jean-Charles PINOLI

Date de publication : 10 oct. 2018

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RÉSUMÉ

La topologie générale est la branche des mathématiques qui traite des notions fondamentales utilisées en topologie et de leurs propriétés. Les intérêts théoriques et applicatifs se situent dans toutes les branches de l’analyse et de la géométrie, mais aussi dans de nombreuses autres disciplines scientifiques. Cet article consiste en une seconde liste de plus de 70 espaces topologiques et métriques particuliers dont les propriétés ou non-propriétés sont des exemples ou contre-exemples détaillés relatives aux notions topologiques et métriques présentés dans les articles précédents. Cette liste est composée d’espaces produits, de suites, de fonctions et de sous-ensembles.

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ABSTRACT

Examples in Topology II. Products Spaces, Vector Spaces, Sequence Spaces, Function Spaces, and Subset Spaces

General topology is the branch of mathematics that deals with the fundamental notions used in topology, and their properties. Its theoretical and applicational utility is found in all branches of analysis and geometry, and in many other scientific disciplines. This article presents a second list of more than 70 special topological and metric spaces whose properties or non- properties are detailed examples or counter-examples related to the topological and metric notions presented in previous articles. This list comprises product spaces, sequence spaces, function spaces and subset spaces.

Auteur(s)

Jean-Charles PINOLI : Professeur - École Nationale Supérieure des Mines de Saint-Étienne, Saint-Étienne, France -

INTRODUCTION

La topologie générale est présentée en une série de six articles ; les deux premiers [AF 97] [AF 98] portant sur les espaces topologiques, les deux suivants [AF 120] [AF 121] sur les espaces métriques, et les deux derniers [AF 122] [AF 123] détaillant près de 150 exemples d’espaces topologiques/métriques possédant ou non les différentes notions topologiques/métriques présentées dans les articles susmentionnés.

Le lecteur est invité à lire la section 1 de l’article [AF 122] pour une introduction détaillée.

En raison d’expressions mathématiques « complexes » incompatibles avec les niveaux de titres HTML, les titres complets des sections figureront au premier alinéa sous les titres tronqués.

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MOTS-CLÉS

espaces de fonctions | espaces de suites | espaces produits | espaces d'objets

KEYWORDS

function spaces | sequence spaces | product spaces | object spaces

PERMALIEN

https://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/sciences-fondamentales-th8/mathematiques-fondamentales-analyse-fonctionnelle-42696210/exemples-en-topologie-ii-af123/

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BIBLIOGRAPHIE

(1) - AARTS (J.M.), NISHIURA (T.) - Dimension and Extensions, - North Holland, 331 pages (1993).
(2) - ADAMS (C.), FRANZOSA (R.) - Introduction to Topology Pure and Applied, - Pearson, 507 pages (2008).
(3) - ADAMSON (I.T.) - A General Topology Workbook, - Springer, 152 pages (1993).
(4) - ALEXANDROFF (P.), URYSOHN (P.) - Mémoire sur les espaces topologiques compacts, Verhandelingen der Koninklijke Nederl. Akademie van Wetenschappen te Amsterdam, - Sect. I, 14, pp. 1-96 (1929).
(5) - AMBROSIO (L.), TILLI (P.) - Topics on Analysis in Metric Spaces, - Oxford University Press, 133 pages (2004).
(6) - APPERT (A.) - Propriétés des espaces abstraits les plus généraux : Ensembles ouverts, fermés,...

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Géométrie différentielle.
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Sommaire
Sommaire détaillé

INTRODUCTION

1 - RAPPELS SUR LES ESPACES VECTORIELS TOPOLOGIQUES

1.1 - Espaces vectoriels topologiques généraux
1.2 - Topologie forte et topologie faible
1.3 - Métrisabilité
1.4 - Espaces vectoriels topologiques semi-normés, normés et de Banach
1.5 - Espaces vectoriels topologiques pré-hilbertiens et de Hilbert
1.6 - Espaces vectoriels topologiques poly-semi-normés
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2 - ESPACES PRODUITS

2.1 - L’espace de Baire (1909) …
2.2 - Les espaces topologiques de Cantor
2.3 - L’espace de Cantor …
2.4 - L’espace …
2.5 - Les espaces produits discrets de Kronecker … et la métrique de Kronecker dK
2.6 - Les espaces n-dimensionnels de Minkowski (1896) … et les métriques de Minkowski dp
2.7 - Les espaces euclidiens n-dimensionnels …
2.8 - L’espace réel n-dimensionnel de Zariski (1935) …
2.9 - L’espace produit de Tietze (1923) …
2.10 - L’espace produit de Hilbert …
2.11 - L’espace produit de Fréchet …
2.12 - L’espace produit …
2.13 - L’espace produit …
2.14 - L’espace produit …
- Quiz d'entraînement

3 - LES CUBES

3.1 - Les cubes de Cantor …
3.2 - Le cube d’Alexandroff (1936) …
3.3 - Les cubes de Tychonoff (1929) …
3.4 - Le cube de Hilbert (1892) …
3.5 - Les cubes euclidiens …

4 - LES BOULES ET LES SPHÈRES

4.1 - Les sphères dans …
4.2 - Les sphères dans l’espace euclidien …
4.3 - Les boules unités dans le plan cartésien …
4.4 - Les boules et sphères unités dans les espaces de Minkowski …
4.5 - Les boules unités dans un espace de Banach

5 - ESPACES DE SUITES DE NOMBRES SCALAIRES

5.1 - Les espaces de suites de nombres scalaires …
5.2 - L’espace … des suites de nombres scalaires finies de taille k
5.3 - L’espace … des suites binaires
5.4 - L’espace … des suites binaires finies
5.5 - L’espace … suites de nombres entiers naturels
5.6 - L’espace … des suites absolument convergentes de nombres scalaires
5.7 - L’espace de Hilbert … des suites de carrés sommables de nombres scalaires (1912)
5.8 - L’espace … des suites de nombres scalaires de puissances p sommables
5.9 - L’espace … des suites bornées de nombres scalaires
5.10 - Les espaces … et … des suites convergentes de nombres réels ou complexes
- Quiz d'entraînement

6 - ESPACES DE FONCTIONS SPÉCIFIQUES

6.1 - Le groupe des auto-homéomorphismes …
6.2 - L’espace … des fonctions de … dans …
6.3 - L’espace … des fonctions de [0,1] dans [0,1]
6.4 - L’espace d’Helly (1912) …
6.5 - L’espace de Skorokhod (1956) …

7 - ESPACES DE FONCTIONS BORNÉES

7.1 - L’espace … des fonctions bornées de … dans …
7.2 - L’espace … des fonctions bornées de … dans …

8 - ESPACES DE FONCTIONS CONTINUES

8.1 - L’espace … des fonctions continues de … dans …
8.2 - L’espace … des fonctions continues de … dans …
8.3 - L’espace … des fonctions continues de … dans …
8.4 - L’espace … des fonctions qui s’annulent à l’infini et l’espace … des fonctions à supports compacts
8.5 - Les espaces des fonctions continues de [0,1] dans …
8.6 - L’espace fonctionnel … de polynômes

9 - ESPACES DE FONCTIONS ÉTAGÉES ET INTÉGRABLES

9.1 - Fonctions étagées … et mesurables …
9.2 - Les espaces … des fonctions de Lebesgue (1904)
9.3 - Les espaces … des fonctions de Lebesgue (1904)
9.4 - Les espaces … des fonctions de Lebesgue (1904)
9.5 - L’espace … des fonctions essentiellement bornées (1904)
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10 - ESPACES DE FONCTIONS DIFFÉRENTIABLES

10.1 - Les espaces de Fréchet des fonctions k-continument différentiables …
10.2 - L’espace … des fonctions infiniment continument différentiables
10.3 - L’espace … des polynômes
10.4 - L’espace de Schwartz (1947-1948) …
10.5 - L’espace … des fonctions tests
10.6 - Fonctions continues et différentiables en un point
10.7 - Fonctions continues nulle part différentiables
10.8 - Les espaces … et … des fonctions de Hölder

11 - LES FONCTIONS GÉNÉRALISÉES

11.1 - Fonctions généralisées de Sobolev (1936) …
11.2 - Fonctions généralisées tempérées (Schwartz, 1947-1948)
11.3 - Les espaces de Sobolev (1936) …

12 - AUTRES ESPACES DE FONCTIONS

12.1 - L’espace … des fonctions de Baire de classe 0 (1899)
12.2 - Les espaces … et … des fonctions de Baire de classes 1 et 2 (1899)
12.3 - L’espace … de fonctions à variations bornées (1881, 1926)

13 - ESPACES DE SOUS-ENSEMBLES

13.1 - L’hyper-espace topologique … des sous-ensembles non vides fermés de …
13.2 - L’hyper-espace topologique … des sous-ensembles non vides fermés de …
13.3 - Continua dans le carré unité du plan euclidien …
13.4 - L’hyper-espace métrique … des compacts convexes non vides de …
13.5 - L’hyper-espace des corps compacts convexes réguliers de …
13.6 - L’hyper-espace de Pixley et Roy (1969) …
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14 - AUTRES EXEMPLES EN LIEN AVEC DIFFÉRENTES BRANCHES DES MATHÉMATIQUES

14.1 - Algèbre linéaire : matrices de nombres scalaires
14.2 - Géométrie projective : espaces projectifs …
14.3 - Théorie de la mesure : espaces mesurés
14.4 - Théorie de l’ordre : topologie de Scott (1972)

15 - CONCLUSION

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