Les méthodes classiques sont parfois mises en défaut lorsque l’on ne dispose pas de l’expression algébrique de la transmittance ou de l’excitation. On peut alors faire appel à l’expérimentation et aux solutions intégrales exposées au paragraphe 1.
Une transmittance étant une fonction complexe d’une variable complexe n’admet pas de représentation graphique dans l’espace et encore moins dans le plan. La transmittance harmonique qui s’en déduit comme un cas particulier important est, elle, susceptible de représentations planes paramétrées extrêmement utiles et pratiques d’emploi. Elles font l’objet du paragraphe 2.
Il est important de ne pas oublier le cas où les signaux mis en jeu sont périodiques mais non sinusoïdaux qui est développé dans le paragraphe 3.
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Soit f (t) et g(t) deux fonctions de la variable réelle t, absolument intégrales sur tout intervalle fini. On appelle convolution de f par g la fonction y(t) définie par l’intégrale (si elle existe) :
et l’on écrit :
y = f * g
Remarque : la convolution de deux fonctions quelconques n’existe pas forcément. C’est le cas, par exemple, lorsque f(t) = 1 et g(t) = 1.
Par contre :
soit :
ϒ (t) * ϒ (t) = tϒ (t)
En effet, ϒ (τ) est nul pour τ < 0 et ϒ (t − τ) est nul pour t − τ < 0, c’est-à-dire pour τ > t. Par conséquent :
si t < 0, on aϒ (τ)ϒ (t − τ) = 0
si t > 0, on a
Fort heureusement, comme le montre l’exemple précédent, la convolution ne pose plus de problème si les fonctions f et g sont causales et intégrables sur tout intervalle fini, ce qui est pratiquement le cas général pour les fonctions que rencontre l’ingénieur.
Cas particulier des fonctions causales : si f et g sont causales, la convolution de f et g s’écrit :
puisque, dans ce cas :
...
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Transmittances harmoniques. Tracé asymptotique de Bode
