Fonction d’état ou variable dépendant de l’histoire
Simulation physique de la mise en forme : mesure de la déformation

Examinons la figure 2. Le chemin de déformation en deux étapes décrit aboutit à retrouver la forme initiale. Donc, au bout de ces deux étapes, tous les tenseurs de déformation et leurs normes s’annulent : en effet, ce sont des fonctions d’état, ne dépendant que de l’état initial et de l’état final, mais pas des stades intermédiaires. Nous concluons donc que la déformation est nulle. Pourtant, du point de vue physique, le matériau a probablement évolué : il s’est écroui ou a changé de structure. Le forgeron qui a fait le travail, lui, s’est certainement aperçu qu’il fallait fournir de l’énergie pour obtenir cette déformation nulle. La déformation plastique équivalente (cf. § 1.2), intégrale d’une fonction positive, est une fonction croissante du temps ; elle a l’avantage de ne pas s’annuler au cours de la deuxième étape et permet de tenir compte de toute l’histoire de la déformation.

Remarquons qu’il n’existe pas de tenseur qui possède cette intéressante particularité ; dans l’exemple présenté, on ne peut donc s’en sortir qu’en déterminant le tenseur choisi à la fin de l’étape 1. Plus généralement, dans tout trajet de déformation non monotone, là où la déformation équivalente finale suffit à caractériser (plus ou moins bien) ce qu’a subi la matière, seule la donnée de l’histoire d’une déformation tensorielle (par exemple C (t ) ou ││C (t )││) peut fournir la même information.