Simulation physique de la mise en forme : mesure de la déformation : Rappels mathématiques

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Auteur(s)

Pierre MONTMITONNET : Ingénieur de l’École centrale de Paris - Directeur de recherche au CNRS - Responsable adjoint du groupe de recherche « Surface et Tribologie » au Centre de mise en forme des matériaux - École nationale supérieure des mines de Paris

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INTRODUCTION

L’expérience de la déformation d’un corps est courante et permet une compréhension intuitive de la notion de déformation : à la différence d’un mouvement de corps rigide, on dit qu’un corps s’est déformé si les distances relatives de ses points matériels ont varié au cours du mouvement. Cela conduit à introduire de manière relativement simple la mesure de la déformation comme l’étude des variations de longueurs et d’angles d’éléments de matière, observées au cours du mouvement. Dans cet article, nous allons donner quelques idées générales sur les mesures mathématiques possibles de la déformation, que nous comparerons sur des exemples simples, et nous ferons le lien avec la simulation physique.

Nota :

Pour une étude théorique et pratique de la simulation physique des procédés de mise en forme, le lecteur se reportera à l’article [M 3 020] de ce traité.

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https://doi.org/10.51257/a-v1-m3021

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Mesure tensorielle ou mesure scalaire de la déformation

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1. Rappels mathématiques

1.1 Tenseurs de déformation

Considérons le schéma de la figure 1. Au temps t = 0, chaque point matériel M₀ est repéré dans un repère fixe de l’espace par un vecteur X décomposable suivant les axes 1, 2, 3 en x₁ , x₂, x₃ .

Au temps t = t_f, après une déformation qui amène le point M₀ en M, le point M est repéré par le vecteur position x. Au cours du mouvement, chacun des points s’est déplacé ; on définit le champ de vecteur déplacement u, puis son gradient, et le tenseur F ou application linéaire tangente tels que :

u = x – X

Tenseurs de déformation lagrangiens
- On définit le tenseur de déformation de Cauchy-Green droit :
  
  C = F ^T · F = 1 + grad u + grad^T u + grad^T u · grad u
  
  On rappelle que :
  - les termes diagonaux C_ii représentent les rapports de longueurs de vecteurs initialement unitaires et parallèles aux axes du repère (figure 1) :
    
    ...