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RÉSUMÉ
Le mouvement des corps dans l’espace résulte principalement de l’action de la gravité. Le modèle de base est le problème à deux corps qui considère deux corps ponctuels soumis à la force de gravitation universelle. Sous ces hypothèses dites képlériennes, les trajectoires sont des coniques vérifiant les propriétés de conservation de l’énergie et du moment cinétique. Ces coniques sont repérées dans l’espace par les paramètres orbitaux, qui permettent une description simple du mouvement. L’article rappelle les résultats théoriques principaux et les formules de transformation de coordonnées utiles pour les applications pratiques.
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Max CERF : Ingénieur en analyse de mission - ArianeGroup, Les Mureaux, France
INTRODUCTION
Le problème à deux corps est le modèle fondamental de la mécanique orbitale. Il décrit le mouvement de deux corps ponctuels en interaction purement gravitationnelle, à l’exclusion de toute autre force. Ces hypothèses simplificatrices permettent d’aboutir à une expression analytique des trajectoires sous forme de coniques, vérifiant des propriétés de conservation de l’énergie et du moment cinétique. La nature de la conique (cercle, ellipse, parabole ou hyperbole) dépend uniquement des conditions initiales de position et de vitesse. L’orbite képlérienne d’un satellite autour de la Terre est représentée géométriquement par ses paramètres orbitaux, qui sont reliés analytiquement à la position et la vitesse en fonction du temps. Un choix adapté des paramètres orbitaux permet une synchronisation du satellite avec les mouvements de la Terre (géosynchronisme) ou du Soleil (héliosynchronisme). Ces propriétés sont particulièrement bénéfiques pour les applications spatiales de télécommunication ou d’observation.
Le problème à deux corps obéit naturellement aux équations de la mécanique mais les solutions analytiques ne sont obtenues que sous certaines hypothèses. En particulier, les deux corps sont supposés sphériques et homogènes et il n'y a pas d'effet relativiste (rappelons que le déplacement du périhélie de Mercure est l'une des premières preuves de la validité de la théorie de la relativité générale).
Bien que simplifié, le modèle képlérien donne une très bonne approximation du mouvement réel d’un satellite artificiel. L’étude plus précise du mouvement nécessite la prise en compte de forces perturbatrices, principalement dues au potentiel gravitationnel terrestre, au frottement atmosphérique, à l’attraction de la Lune et du Soleil ou à la pression de radiation solaire. L’effet de ces forces sur une orbite képlérienne peut être étudié par des méthodes analytiques de perturbations ou par des méthodes numériques de simulations. L’objet de cet article est le mouvement képlérien. Il rappelle les notions et formules utiles à l’ingénieur travaillant sur des applications spatiales.
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5. Orbites terrestres
Les orbites terrestres se classent en fonction de leur altitude. Les orbites basses circulaires (LEO, Low Earth Orbit, altitude inférieure à 2 000 km) sont utilisées pour l’observation de la surface terrestre et les constellations de télécommunications. Les orbites moyennes circulaires (MEO, Medium Earth Orbit, altitude d’environ 20 000 km) sont utilisées pour la navigation. Les orbites hautes elliptiques (HEO, High Earth Orbit, altitude d’apogée supérieure à 50 000 km) sont utilisées pour l’observation de l’espace.
Les orbites terrestres utilisent le modèle WGS84 (World Geodetic System) :
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constante gravitationnelle terrestre μ t = 3,986004 × 1014 m3 · s–2 ;
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rayon terrestre équatorial R e = 6 378 137 m et polaire R p = 6 356 152 m.
Les propriétés de géosynchronisme et d’héliosynchronisme sont particulièrement intéressantes pour les applications de télécommunication et d’observation. Ces propriétés sont en relation avec le mouvement de la Terre par rapport au Soleil .
5.1 Mouvement de la Terre par rapport au Soleil
L’orbite de la Terre autour du Soleil est dans le plan de l’écliptique incliné de ε = 23,45° par rapport à l’équateur (figure 3). Cette orbite est quasi circulaire de rayon 149 597 871 km (unité astronomique) et de période de 365,25 jours. Le déplacement angulaire moyen en une journée vaut α = 360/365,25 = 0,986°.
Le jour solaire (24 h) est défini comme l’intervalle de temps entre deux passages du Soleil au méridien du lieu, soit entre deux midis consécutifs. Entre ces deux instants, l’observateur...
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BIBLIOGRAPHIE
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(1) - BATTIN (R.) - An introduction to the mathematics and methods of astrodynamics. - AIAA (1999).
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(2) - CAPDEROU (M.) - Satellites : de Kepler au GPS. - Springer (2012).
-
(3) - CHOBOTOV (V.) - Orbital mechanics third edition. - AIAA (2002).
-
(4) - VALLADO (D.) - Fundamentals of astrodynamics and applications. - Microcosm Press, Springer (2007).
ANNEXES
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