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RÉSUMÉ
Le mouvement des corps dans l’espace résulte principalement de l’action de la gravité. Le modèle de base est le problème à deux corps qui considère deux corps ponctuels soumis à la force de gravitation universelle. Sous ces hypothèses dites képlériennes, les trajectoires sont des coniques vérifiant les propriétés de conservation de l’énergie et du moment cinétique. Ces coniques sont repérées dans l’espace par les paramètres orbitaux, qui permettent une description simple du mouvement. L’article rappelle les résultats théoriques principaux et les formules de transformation de coordonnées utiles pour les applications pratiques.
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Max CERF : Ingénieur en analyse de mission - ArianeGroup, Les Mureaux, France
INTRODUCTION
Le problème à deux corps est le modèle fondamental de la mécanique orbitale. Il décrit le mouvement de deux corps ponctuels en interaction purement gravitationnelle, à l’exclusion de toute autre force. Ces hypothèses simplificatrices permettent d’aboutir à une expression analytique des trajectoires sous forme de coniques, vérifiant des propriétés de conservation de l’énergie et du moment cinétique. La nature de la conique (cercle, ellipse, parabole ou hyperbole) dépend uniquement des conditions initiales de position et de vitesse. L’orbite képlérienne d’un satellite autour de la Terre est représentée géométriquement par ses paramètres orbitaux, qui sont reliés analytiquement à la position et la vitesse en fonction du temps. Un choix adapté des paramètres orbitaux permet une synchronisation du satellite avec les mouvements de la Terre (géosynchronisme) ou du Soleil (héliosynchronisme). Ces propriétés sont particulièrement bénéfiques pour les applications spatiales de télécommunication ou d’observation.
Le problème à deux corps obéit naturellement aux équations de la mécanique mais les solutions analytiques ne sont obtenues que sous certaines hypothèses. En particulier, les deux corps sont supposés sphériques et homogènes et il n'y a pas d'effet relativiste (rappelons que le déplacement du périhélie de Mercure est l'une des premières preuves de la validité de la théorie de la relativité générale).
Bien que simplifié, le modèle képlérien donne une très bonne approximation du mouvement réel d’un satellite artificiel. L’étude plus précise du mouvement nécessite la prise en compte de forces perturbatrices, principalement dues au potentiel gravitationnel terrestre, au frottement atmosphérique, à l’attraction de la Lune et du Soleil ou à la pression de radiation solaire. L’effet de ces forces sur une orbite képlérienne peut être étudié par des méthodes analytiques de perturbations ou par des méthodes numériques de simulations. L’objet de cet article est le mouvement képlérien. Il rappelle les notions et formules utiles à l’ingénieur travaillant sur des applications spatiales.
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4. Paramètres orbitaux
Une orbite képlérienne est une conique dont l’un des foyers est le corps attracteur principal. Les paramètres orbitaux positionnent cette conique dans un repère galiléen (OXYZ) lié au corps attracteur. Il existe diverses façons de choisir le repère galiléen et de définir les paramètres orbitaux.
Il n’existe pas de repère connu qui soit parfaitement galiléen. En pratique, on peut définir des repères quasi galiléens dans lesquels les lois de Newton sont vérifiées avec une excellente précision. Le choix de l’origine et des axes du repère dépend du mouvement étudié, en particulier des forces à prendre en compte et de la durée de propagation.
4.1 Référentiel terrestre
Dans le cas d’un satellite en orbite autour de la Terre, l’origine O est le centre de masse de la Terre, l’axe Z est l’axe des pôles à une date donnée, le plan OXY est le plan équatorial à cette date. L’axe X est l’intersection entre le plan de l’équateur et le plan de l’écliptique qui est le plan de l’orbite de la Terre autour du Soleil. L’équateur est incliné de l’angle d’obliquité ε = 23,45° par rapport à l’écliptique. L’axe X est dirigé vers le point vernal qui correspond à l’équinoxe de printemps dans l’hémisphère nord (figure 3).
Le repère J2000 est ainsi défini le 1er janvier 2000 à 12 h à partir du plan équatorial moyen . Sous l’effet des perturbations dues principalement à l’attraction de la Lune, l’axe des pôles n’est pas fixe dans l’espace. Il décrit en moyenne un cône (mouvement de précession de période environ 25 760 ans) auquel se superpose des oscillations (mouvement de nutation de période environ 18,6 ans). Les éphémérides comme celles du Jet Propulsion Laboratory permettent de positionner à une date donnée le référentiel...
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BIBLIOGRAPHIE
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(1) - BATTIN (R.) - An introduction to the mathematics and methods of astrodynamics. - AIAA (1999).
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(2) - CAPDEROU (M.) - Satellites : de Kepler au GPS. - Springer (2012).
-
(3) - CHOBOTOV (V.) - Orbital mechanics third edition. - AIAA (2002).
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(4) - VALLADO (D.) - Fundamentals of astrodynamics and applications. - Microcosm Press, Springer (2007).
ANNEXES
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