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RÉSUMÉ
Cet article présente les hypothèses et équations dynamiques de la théorie linéaire des coques dans l'hypothèse de Kirchoff-Love, et dans le contexte général de la mécanique Lagrangienne des solides. Les équations présentées généralisent aux coques gauches les formulations usuelles des poutres et incluent les contributions statiques et les termes d'inertie dynamique dans le cadre élastique. Ces équations fondent les modèles généraux des coques dans leur approche modale, en mouvement libre après choc ou lâché, et en mouvement excité sous charge dynamique.
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Yves GOURINAT : Professeur de mécanique des structures, Institut supérieur de l'aéronautique et de l'espace
INTRODUCTION
Les coques sont des éléments essentiels des structures légères, qu'elles soient aérospatiales ou terrestres. Cet article présente de manière synthétique l'ensemble des équations qui les régissent. Ces formulations, développées aussi bien en statique qu'en dynamique, autorisent une mise en équation générale des éléments minces. Ces systèmes sont applicables à des éléments divers dans le cadre élastique linéaire de qualification usuelle du secteur aérospatial et du génie civil, et sont le fondement des développements analytiques et numériques des structures minces dans l'espace. Les équations présentées complètent ainsi les formulaires classiques de résistance des matériaux dédiés aux poutres droites, aux poutres courbes et aux plaques.
Le calcul des coques gauches, et notamment des coques non développables, constitue un ensemble cohérent permettant de traiter toutes les surfaces structurales. La description locale de la surface moyenne constitue donc le cadre géométrique fondamental de la théorie des coques. Le système de Beltrami exprimé en flux internes (visseur) vient compléter cette description, générant les équations de la statique des coques et la formulation générale en représentation de Lagrange des déplacements, pris sur la surface moyenne (système de Reissner). L'introduction explicite des forces d'inertie permet alors d'expliciter les équations générales de la dynamique linéaire des coques, formulées dans les analyses modales en vibration et en choc. Les cas particuliers invariants, et notamment les coques de révolution, font l'objet d'une explicitation particulière, constituant des cas de référence et des exemples usuels pour les applications.
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1. Définitions générales
Une coque constituant un solide élastique, il est nécessaire de situer les grandeurs mises en équations dans le cadre général de la mécanique des solides déformables, que l'on explicite d'abord pour les poutres, éléments minces simples, afin de pointer les termes dynamiques. Elles seront ensuite appliquées aux coques.
1.1 Problème élastique
Un problème élastique considère un solide déformable dans son domaine linéaire. L'état mécanique est alors représenté par des champs de grandeurs physiques dont la définition est essentielle.
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Dans un solide, les forces extérieures ou charges sont représentées par des forces de contact (surfaciques, linéiques ou ponctuelles) et des forces à distance (gravité, forces d'inertie, forces électromagnétiques). L'ensemble de ces charges constitue un champ vectoriel appliqué en chaque point du solide.
Ces charges entraînent des déplacements, le point P0 venant en P1 . Ils constituent un second champ vectoriel contribuant à décrire l'état extérieur du solide. Dans la base orthonormée directe xyz dans laquelle on repère le solide, ces vecteurs sont représentés par des colonnes (3 scalaires indépendants).
La sollicitation interne du solide est représentée par le champ de tenseurs des contraintes. Celles-ci traduisent les tensions au point courant P. Le tenseur des contraintes est symétrique en P dès qu'il n'y a pas de moment volumique en P (ce sera toujours le cas en mécanique classique). Il possède une représentation matricielle symétrique (6 scalaires indépendants) dans la base xyz .
Quant à la distorsion de la matière en P, elle est modélisée par le tenseur des déformations.
Les problèmes étant initialement mixtes – composante de charges connues correspondant à un déplacement inconnu, et réciproquement – la mécanique des solides exploite les relations entre ces quatre champs pour les déterminer entièrement.
En effet, l'examen des contraintes en tout point permettra alors de déterminer la résistance du solide – par rapport à des...
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BIBLIOGRAPHIE
ANNEXES
REDDY (J.-N.) - Theory and Analysis of Elastic Plates and Shells. - CRC Press (2006).
LAROZE (S.) - Thermique des structures – Dynamique des structures. - Cepadues (2005).
FREY (F.), STUDER (M.-A.) - Analyse des structures en milieu continus – Coques. - Traité de Génie Civil, vol. 5, Presses Polytechniques et Universitaires Romandes (2003).
GUYADER (J.L.) - Vibrations des milieux continus. - Hermès Science Publications (2002).
KRAUTHAMMER (T.), VENTSEL (E.) - Thin Plates and Shells : Theory, Analysis, and Applications. - CRC Press (2001).
DE SILVA (C.-W.) - Vibration fondamentals and practice. - CRC Press (2000).
OSSADZOW (C.), MULLER (P.) - lntroduction aux coques minces élastiques. - Hermès Science Publications (1999).
LALANNE (C.) - Vibrations et chocs mécanique. Tome 1, Vibrations sinusoïdales. - Hermès Science Publications (1999).
DESTUYNDER (P.) - Modélisation des coques minces élastiques. - Masson (1997).
GOURINAT (Y.), BELLOEIL (V.) - A truncated low approach of intrinsic linear and nonlinear damping in thin structures. - Journal of Vibration and Acoustics, vol. 129, p. 32-38 (2008).
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