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Auteur(s)
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Pierre SPITERI : Docteur ès sciences mathématiques - Professeur à l’École nationale supérieure d’électronique, d’électrotechnique, d’informatique, d’hydraulique et de télécommunication de Toulouse
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Lire l’articleINTRODUCTION
Lans l’article , nous avons abordé la résolution numérique de problèmes d’équations aux dérivées partielles stationnaires par la méthode des différences finies. Cette méthode peut être étendue à la résolution de problèmes d’évolution. Nous étudierons deux types de problèmes : d’une part les problèmes d’évolution du premier ordre en temps, dénommés également problèmes paraboliques et d’autre part les problèmes d’évolution du second ordre en temps, dénommés également problèmes hyperboliques . Les équations intervenant dans ces problèmes sont constituées pour partie d’une combinaison de dérivées partielles par rapport à la variable temporelle dont nous détaillerons le traitement numérique et pour partie d’une combinaison de dérivées partielles par rapport à la variable spatiale ; cette dernière partie a été traitée en détail dans l’article , le problème pouvant être posé dans un domaine Ω, monodimensionnel, bidimensionnel ou tridimensionnel ; pour simplifier l’exposé nous considérerons que le domaine est le segment [0, 1], le cas bi et tridimensionnel ne présentant pas de difficultés majeures.
On rappelle que l’étude sur la méthode des différences finies pour résoudre des équations aux dérivées partielles se décompose en trois articles :
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Problèmes du premier ordre en temps. Équation de la chaleurArticle inclus dans l'offre
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2. Problèmes du second ordre en temps. Équation des ondes
Nous abordons rapidement dans ce paragraphe la résolution numérique d’une équation aux dérivées partielles linéaire hyperbolique du second ordre ; bien que le problème abordé ici présente certaines difficultés, les techniques de résolution numérique sont analogues à celles que nous avons abordées dans les paragraphes précédents, moyennant toutefois certaines adaptations ; en particulier, les notions d’ordre, de consistance, de stabilité et de convergence sont identiques à celles introduites dans le cadre des problèmes paraboliques. C’est pourquoi, dans le présent paragraphe, nous nous limiterons à la présentation des principaux résultats nécessaires à la résolution numérique de l’équation des ondes.
2.1 Position du problème
On considère une corde de longueur unité attachée en chacune de ses extrémités. Soit u (x, t ) le déplacement de la corde au point x ∊ [0, 1] et à tout instant t > 0. On suppose connus le déplace- ment initial u 0 (x ) de la corde ainsi que sa vitesse initiale
, où u 0 (x ) et u 1 (x ) sont des fonctions continues données sur [0, 1]. On suppose, de plus, que la corde est excitée en tout point x du segment [0, 1] et à tout instant t > 0 par une force f (x, t ). On se propose de déterminer le déplacement de la corde en tout point x ∊ [0, 1] et à tout instant t > 0. La mise en équation de ce problème conduit à résoudre l’équation aux dérivées partielles du second ordre en temps suivante :
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Problèmes du second ordre en temps. Équation des ondes
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BIBLIOGRAPHIE
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(1) - LASCAUX (P.), THEODOR (R.) - Analyse numérique matricielle appliquée à l’art de l’ingénieur. - Tomes 1 et 2, Masson (1986).
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(2) - RICHTMYER (R.D.), MORTON (K.W.) - Difference methods for initial value problems. - John Wiley and Sons (1967).
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(3) - CUVELIER (C.), DESCLOUX (J.), RAPPAZ (J.) - Éléments d’équations aux dérivées partielles pour ingénieurs. - Tomes 1 et 2, Presses Polytechniques Romandes (1988).
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(4) - EUVRARD (D.) - Résolution numérique des équations aux dérivées partielles de la physique, de la mécanique et des sciences de l’ingénieur. - Masson (1988).
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(5) - LE POURHIET (A.) - Résolution numérique des équations aux dérivées partielles : une première approche. - Cépadues Édition (1988).
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