Article

1 - INTERPOLATION RATIONNELLE

  • 1.1 - Formule de Thiele
  • 1.2 - Formule barycentrique

2 - APPROXIMATION RATIONNELLE

  • 2.1 - Approximation de type-Padé
  • 2.2 - Approximation de Padé
  • 2.3 - Interpolation et approximation rationnelles simultanées

3 - EXTRAPOLATION RATIONNELLE

  • 3.1 - Extrapolation de Richardson
  • 3.2 - Procédé Δ2 d'Aitken
  • 3.3 - Transformation de Shanks et l'∊-algorithme
  • 3.4 - ρ-algorithme
  • 3.5 - θ-algorithme
  • 3.6 - E-algorithme
  • 3.7 - Algorithmes divers
  • 3.8 - Cas vectoriel
  • 3.9 - Cas confluent

4 - APPLICATIONS

  • 4.1 - Accélération de la convergence
  • 4.2 - Phénomène de Gibbs
  • 4.3 - Recherche sur Internet
  • 4.4 - Estimation de l'erreur dans les systèmes linéaires
  • 4.5 - Régularisation des systèmes linéaires
  • 4.6 - Fonctions de matrices

Article de référence | Réf : AF1390 v1

Interpolation, approximation et extrapolation rationnelles

Auteur(s) : Claude BREZINSKI, Michela REDIVO-ZAGLIA

Date de publication : 10 oct. 2013

Pour explorer cet article
Télécharger l'extrait gratuit

Vous êtes déjà abonné ?Connectez-vous !

Sommaire

Présentation

RÉSUMÉ

Le but de cet article est de présenter les méthodes d'interpolation et d'approximation par des fonctions rationnelles. Elles sont utilisées pour représenter de manière approchée des fonctions connues, soit en un certain nombre de points, soit par le début de leur développement en série de Taylor. Est traité également le problème de l'accélération de la convergence de suites par des méthodes d'extrapolation rationnelle. Des exemples d'applications à divers problèmes d'analyse numérique sont fournis.

Lire cet article issu d'une ressource documentaire complète, actualisée et validée par des comités scientifiques.

Lire l’article

ABSTRACT

Interpolation, approximation and rational extrapolation

The aim of this article is to present interpolation and approximation methods via rational functions. They are used to represent known functions in an approximate way, either in a certain number of points, or by the first terms of their Taylor series expansion. This article also addresses the issue of accelerating the convergence of action by rational extrapolation methods. Examples of applications to various problems of numerical analysis are provided.

Auteur(s)

  • Claude BREZINSKI : Docteur ès Sciences Mathématiques - Professeur Émérite - Laboratoire Paul Painlevé - UMR CNRS 8524 - Université des Sciences et Technologies de Lille, France

  • Michela REDIVO-ZAGLIA : Docteur en Mathématiques - Professeur - Dipartimento di Matematica - Università degli Studi di Padova, Italie

INTRODUCTION

Un problème important que l'on rencontre en analyse numérique et en mathématiques appliquées concerne l'approximation de fonctions connues seulement par certaines informations. L'interpolation et l'approximation sont deux techniques qui permettent de représenter par une fonction simple, mais de manière approchée, une fonction inconnue dont on connaît soit les valeurs en un certain nombre de points, soit une autre information comme le début de son développement en série de Taylor. La plus simple des fonctions à utiliser pour cela est, bien entendu, un polynôme. Mais un polynôme ne sera pas toujours capable de représenter convenablement, par exemple, des points provenant d'une exponentielle sur un grand intervalle ou d'une fonction admettant des pôles. C'est pour de telles raisons que l'on se tourne alors vers les fractions rationnelles.

Considérons un second problème souvent rencontré. De nombreuses méthodes utilisées en analyse numérique et, plus généralement, en mathématiques appliquées sont des méthodes itératives. Elles produisent une suite qui, dans les meilleurs cas, converge rapidement vers la solution du problème considéré. D'autres méthodes fournissent une approximation de la solution qui dépend d'un paramètre et, lorsque ce paramètre tend vers une limite (en général zéro ou l'infini), cette approximation tend vers la solution exacte du problème. En considérant une suite de ces paramètres convergeant vers leur limite, on obtient une suite d'approximations de la solution qui converge vers la réponse désirée. Cependant, dans ces deux cas, la convergence peut être lente, rendant la méthode difficilement utilisable en pratique. D'autre part, il se peut que la suite (ou l'approximation) provienne d'une boîte noire et qu'il soit donc impossible de modifier son processus de fabrication. L'idée est alors de transformer cette suite lente en une nouvelle suite convergeant, sous certaines conditions, plus rapidement vers la même limite. De telles méthodes sont basées sur l'idée d'extrapolation linéaire ou, mieux, rationnelle.

Le but de cet article est de servir d'introduction à l'interpolation et à l'approximation par des fonctions rationnelles ainsi qu'à l'extrapolation rationnelle. On donnera des exemples d'application de ces techniques.

Dans la bibliographie, les références en français ont été privilégiées quand cela était possible. On pourra trouver d'autres références en consultant les pages personnelles des auteurs de cet article sur Internet.

Cet article est réservé aux abonnés.
Il vous reste 95% à découvrir.

Pour explorer cet article
Téléchargez l'extrait gratuit

Vous êtes déjà abonné ?Connectez-vous !


L'expertise technique et scientifique de référence

La plus importante ressource documentaire technique et scientifique en langue française, avec + de 1 200 auteurs et 100 conseillers scientifiques.
+ de 10 000 articles et 1 000 fiches pratiques opérationnelles, + de 800 articles nouveaux ou mis à jours chaque année.
De la conception au prototypage, jusqu'à l'industrialisation, la référence pour sécuriser le développement de vos projets industriels.

KEYWORDS

approximation   |   interpolation   |   extrapolation   |   rational functions   |   acceleration

DOI (Digital Object Identifier)

https://doi.org/10.51257/a-v1-af1390


Cet article fait partie de l’offre

Mathématiques

(202 articles en ce moment)

Cette offre vous donne accès à :

Une base complète d’articles

Actualisée et enrichie d’articles validés par nos comités scientifiques

Des services

Un ensemble d'outils exclusifs en complément des ressources

Un Parcours Pratique

Opérationnel et didactique, pour garantir l'acquisition des compétences transverses

Doc & Quiz

Des articles interactifs avec des quiz, pour une lecture constructive

ABONNEZ-VOUS

Lecture en cours
Présentation

Cet article est réservé aux abonnés.
Il vous reste 92% à découvrir.

Pour explorer cet article
Téléchargez l'extrait gratuit

Vous êtes déjà abonné ?Connectez-vous !


L'expertise technique et scientifique de référence

La plus importante ressource documentaire technique et scientifique en langue française, avec + de 1 200 auteurs et 100 conseillers scientifiques.
+ de 10 000 articles et 1 000 fiches pratiques opérationnelles, + de 800 articles nouveaux ou mis à jours chaque année.
De la conception au prototypage, jusqu'à l'industrialisation, la référence pour sécuriser le développement de vos projets industriels.

Cet article fait partie de l’offre

Mathématiques

(202 articles en ce moment)

Cette offre vous donne accès à :

Une base complète d’articles

Actualisée et enrichie d’articles validés par nos comités scientifiques

Des services

Un ensemble d'outils exclusifs en complément des ressources

Un Parcours Pratique

Opérationnel et didactique, pour garantir l'acquisition des compétences transverses

Doc & Quiz

Des articles interactifs avec des quiz, pour une lecture constructive

ABONNEZ-VOUS

Sommaire
Sommaire

BIBLIOGRAPHIE

  • (1) - BAKER (G.A.) Jr., GRAVES-MORRIS (P.R.) -   Padé Approximants  -  2nd ed., Cambridge University Press, Cambridge (1996).

  • (2) - BERRUT (J.-P.), BALTENSPERGER (R.), MITTELMANN (H.D.) -   *  -  . – Recent developments in barycentric rational interpolation, in Trends and Applications in Constructive Approximation, M.G. de Bruin, D.H. Mache, J. Szabados eds., ISNM vol. 151, Birkhäuser Verlag, Basel, pp. 27-51 (2005).

  • (3) - BREZINSKI (C.) -   Accélération de la Convergence en Analyse Numérique  -  Lect. Notes Math., vol. 584, Springer-Verlag, Heidelberg (1977).

  • (4) - BREZINSKI (C.) -   Algorithmes d'Accélération de la Convergence. Étude Numérique  -  Éditions Technip, Paris (1978).

  • (5) - BREZINSKI (C.) -   Padé-Type Approximation and General Orthogonal Polynomials  -  ISNM, vol. 50, Birkhäuser-Verlag, Basel (1980).

  • ...

Cet article est réservé aux abonnés.
Il vous reste 94% à découvrir.

Pour explorer cet article
Téléchargez l'extrait gratuit

Vous êtes déjà abonné ?Connectez-vous !


L'expertise technique et scientifique de référence

La plus importante ressource documentaire technique et scientifique en langue française, avec + de 1 200 auteurs et 100 conseillers scientifiques.
+ de 10 000 articles et 1 000 fiches pratiques opérationnelles, + de 800 articles nouveaux ou mis à jours chaque année.
De la conception au prototypage, jusqu'à l'industrialisation, la référence pour sécuriser le développement de vos projets industriels.

Cet article fait partie de l’offre

Mathématiques

(202 articles en ce moment)

Cette offre vous donne accès à :

Une base complète d’articles

Actualisée et enrichie d’articles validés par nos comités scientifiques

Des services

Un ensemble d'outils exclusifs en complément des ressources

Un Parcours Pratique

Opérationnel et didactique, pour garantir l'acquisition des compétences transverses

Doc & Quiz

Des articles interactifs avec des quiz, pour une lecture constructive

ABONNEZ-VOUS