Les fonctions à variations bornées sont des fonctions intégrables particulières dont les variations totales sont finies. Elles tiennent un rôle important dans l’analyse mathématique moderne. Cet article présente les fonctions à variations bornées d’une seule variable et de plusieurs variables, avec des exemples et des contre-exemples. Une partie est consacrée aux ensembles à périmètres distributionnels finis (i.e. les ensembles de Caccioppoli), ainsi qu’à la présentation de généralisations, extensions et restrictions. Plusieurs exemples concrets d’applications pratiques en analyse fonctionnelle, géométrie, probabilités et statistiques, physique et imagerie mathématique sont détaillés.
La méthode du gradient proximé est un algorithme d’éclatement pour la minimisation de la somme de deux fonctions convexes, dont l’une est lisse. Elle trouve des applications des domaines tels que la mécanique, le traitement du signal, les problèmes inverses, l’apprentissage automatique, la reconstruction d’images, les inéquations variationnelles, les statistiques, la recherche opérationnelle et le transport optimal. Son formalisme englobe une grande variété de méthodes numériques en optimisation, telles que la descente de gradient, le gradient projeté, la méthode de seuillage itératif, la méthode des projections alternées, la méthode de Landweber contrainte, ainsi que divers algorithmes en statistique et en analyse parcimonieuse de données. Cette synthèse vise à donner un aperçu des principales propriétés de la méthode du gradient proximé et d’aborder certaines de ses applications.
L’analyse modale expérimentale vise à identifier les fréquences propres, taux d’amortissement et déformées modales d’une structure dans des conditions aux limites données. Mises au point dans les années 1960 à 1990, les techniques expérimentales et méthodes d’identification sont aujourd’hui matures et disponibles auprès des fournisseurs industriels. La dynamique des structures est néanmoins une discipline complexe. Cet article vise à couvrir l’ensemble des connaissances importantes pour acquérir une bonne maîtrise de l’analyse modale expérimentale.
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