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Auteur(s)
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Pascal MARONI : Docteur ès Sciences Mathématiques - Directeur de Recherche au CNRS
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Lire l’articleINTRODUCTION
Les fonctions eulériennes ont une situation particulière : elles apparaissent dans presque toutes les questions touchant les autres fonctions spéciales, c’est‐à‐dire qu’elles interviennent, en particulier la fonction Gamma, dans la plupart des problèmes provenant de la physique mathématique. Il paraît donc nécessaire d’étudier ces fonctions avant toutes les autres.
Historiquement, la fonction gamma est née de l’exigence de donner un sens à x ! pour x complexe quelconque. La formule de Stirling, fournissant une estimation de x ! pour x grand, fondamentale dans les questions de comportement asymptotique, achève de donner un statut primordial à la fonction Γ.
L’étude de celle‐ci fait intervenir dès le début les principes fondamentaux de la théorie des fonctions de variable complexe. Il est remarquable de constater que la justification de ses principales propriétés peut être exposée de façon élémentaire, sans cesser d’être rigoureuse.
Longtemps au nombre de trois, les suites de polynômes orthogonaux classiques, comme les trois mousquetaires, sont en fait au nombre de quatre depuis 1949 : les polynômes d’Hermite, les polynômes de Laguerre (à un paramètre), les polynômes de Bessel (à un paramètre) et les polynômes de Jacobi (à deux paramètres). Les polynômes de Bessel ont tardé à obtenir le statut de polynômes classiques parce que la forme de Bessel n’est pas définie positive pour aucune valeur du paramètre.
Algébriquement, une suite orthogonale est qualifiée de classique si la suite des dérivées est aussi orthogonale. Avec cette définition, les polynômes de Bessel sont classiques. D’autres définitions sont possibles ; les plus importantes sont exposées ici.
À l’étude basée sur le caractère hypergéométrique des polynômes classiques, on a préféré une exposition purement algébrique qui a le mérite de relier les différentes caractérisations de manière naturelle. Avec ce point de vue, les questions de représentation des formes sont rejetées au second plan.
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1. L’outillage
Le contenu de ce paragraphe consiste en des rappels de résultats fondamentaux, utilisés dans la suite.
Les fonctions spéciales sont, en général, construites à partir des procédés fondamentaux de l’analyse : passage à la limite dans une somme finie d’éléments où le nombre de ceux‐ci croît indéfiniment, ce qui donne les séries, et passage à la limite dans un produit fini d’éléments, ce qui fournit les produits infinis. L’intégrale est définie comme limite d’une somme finie, mais il s’agit d’un processus plus complexe ; on suppose connue la théorie de l’intégrale de Riemann.
1.1 Séries, produits, intégrales
La série
de nombres réels ou complexes est dite convergente si la suite des sommes partielles
est une suite convergente : Un → U. La définition est valable dans un espace vectoriel normé E : ││Un – U ││ → 0, n → + ∞.
Lorsque E est complet, ce qui est le cas de
et
, la suite
est convergente si et seulement si, étant donné ε > 0, il existe N (ε ) tel que :
uniformément quel...
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BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - BASS (J.) - Cours de mathématiques. - Tomes 1 et 2, 4e éd. (1968) ; Tome 3, Masson (1971).
-
(2) - SANSONE (G.), GERRETSEN (J.) - Lectures on the theory of functions of a complex variable. - Tome 1, Holomorphic functions (1960) ; Tome 2, Geometric theory (1969) Noordhoff.
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(3) - COPSON (E.T.) - An introduction to the theory of functions of a complex variable. - Oxford University Press (1935) (réimprimé en 1970).
-
(4) - DIEUDONNE (J.) - Calcul infinitésimal. - Hermann (1968).
-
(5) - GOSTIAUX (B.) - Cours de mathématiques spéciales. - Tome 2, Topologie, analyse réelle ; Tome 3, Analyse fonctionnelle et calcul différentiel. PUF (1993).
-
(6) - ARTIN (E.) - The gamma function. - Holt, Rinehart and Winston (1964).
- ...
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