Article

1 - MANIPULATIONS PREMIÈRES SUR LA RELATION DE SIMILITUDE

  • 1.1 - Similitude et rang
  • 1.2 - Similitude et PG-équivalence
  • 1.3 - Similitude et congruence
  • 1.4 - Fonctions polynomiales invariantes
  • 1.5 - Commutant d’une matrice et matrices de changement de base

2 - VALEURS PROPRES. POLYNÔME CARACTÉRISTIQUE. POLYNÔME MINIMAL

  • 2.1 - Généralités
  • 2.2 - Valeur, vecteur et sous-espace propres
  • 2.3 - Sous-espaces en somme directe et sous-espaces propres
  • 2.4 - Matrices diagonalisables
  • 2.5 - Polynôme caractéristique
  • 2.6 - Théorème de Cayley-Hamilton
  • 2.7 - Théorème spectral et autre point de vue sur le théorème de Cayley-Hamilton
  • 2.8 - Théorème spectral : deux démonstrations
  • 2.9 - Résultant du polynôme caractéristique

3 - PARTITION DE L’ENSEMBLE DES MATRICES D’ORDRE N À COEFFICIENTS COMPLEXES PAR CLASSES DE SIMILITUDE

4 - SUITE DES NOYAUX ITÉRÉS. TABLEAUX DE YOUNG

  • 4.1 - Une suite qui s’essouffle
  • 4.2 - Tableaux de Young
  • 4.3 - Tableau de Young associé à une valeur propre
  • 4.4 - Pratique de la réduction de Jordan pour une matrice nilpotente
  • 4.5 - Pratique de la réduction de Jordan pour une matrice quelconque

5 - MATRICES NILPOTENTES. CÔNE NILPOTENT

6 - LA JORDANISATION POUR ELLE-MÊME

  • 6.1 - Pratique et preuve
  • 6.2 - Arrangements possibles d’une base de Jordan

7 - FAMILLES PARTICULIÈRES DE MATRICES. LES MATRICES DE LA CLASSE Δ

  • 7.1 - Une première famille
  • 7.2 - Une seconde famille

8 - CALCUL DE LA DIMENSION DU COMMUTANT

9 - RÉDUCTION SIMULTANÉE

  • 9.1 - Cas de deux matrices
  • 9.2 - Théorèmes de Engel et de Lie
  • 9.3 - Théorème de Kolchin
  • 9.4 - Diagonalisation simultanée
  • 9.5 - Réduction simultanée et théorème de Sylow

10 - AUTRE POINT DE VUE SUR LA JORDANISATION

  • 10.1 - Retour sur le commutant. Application au bicommutant
  • 10.2 - Facteurs invariants et forme normale de Smith

11 - MATRICES DE HESSENBERG

  • 11.1 - Généralités
  • 11.2 - Calcul du déterminant

12 - LE CAS RÉEL

13 - SIMILITUDE ET CONGRUENCE. MATRICES SYMÉTRIQUES RÉELLES

  • 13.1 - Généralités
  • 13.2 - Action du groupe unitaire
  • 13.3 - Matrices normales. Premières propriétés
  • 13.4 - Matrices normales. Autres caractérisations
  • 13.5 - Cas n = 2
  • 13.6 - Théorème de Specht
  • 13.7 - Matrices symétriques et antisymétriques réelles
  • 13.8 - Théorème de Horn
  • 13.9 - Théorème de Lyapounov

14 - QUELQUES EXEMPLES RÉCAPITULATIFS

  • 14.1 - Une diagonalisation explicite
  • 14.2 - Une jordanisation effective
  • 14.3 - Autre exemple
  • 14.4 - Ressorts de Trubowitz

Article de référence | Réf : AF87 v1

Réduction des endomorphismes

Auteur(s) : Rached MNEIMNÉ

Date de publication : 10 avr. 1999

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Auteur(s)

  • Rached MNEIMNÉ : Maître de conférences à l’Université Paris VII, Denis-Diderot - Agrégé en mathématiques - Ancien élève de l’École normale supérieure de Saint-Cloud

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INTRODUCTION

L’algèbre linéaire naît historiquement du besoin de fonder sur des bases solides l’étude des systèmes d’équations linéaires, mais, également, de celui de saisir ce qui survit à la géométrie d’Euclide, une fois gommé l’effet des translations, et, éventuellement, oubliée l’idée de distance. La réduction des endomorphismes n’apparaît que plus tard, et c’est lors de l’examen des équations différentielles à singularités régulières (théorie de Fuchs) que C. Jordan aborde la réduction qui portera son nom.

L’algèbre linéaire se développe petit à petit en une spécialité digne d’intérêt en elle-même, et devient, au sens élémentaire du terme, la « science » qui s’occupe de matrices ou encore d’espaces vectoriels et d’applications linéaires entre ces espaces vectoriels. Les objectifs de base se réduisent, grosso modo, à l’examen de quatre, voire cinq, principales relations d’équivalence définies entre matrices. Il s’agit en fait :

  • de la r-équivalence (A = PBQ) ;

  • de la PG-équivalence (A = PB), qui fonde la première des sources historiques évoquées ci-dessus (PG comme pivot de Gauss) ;

  • de la similitude (A = PBP –1), qui est l’objet de notre étude ;

  • de la congruence (A = PBtP).

Une autre relation établit enfin certains liens entre similitude et congruence ; elle est donnée par la similitude orthogonale

A = OBO –1 = OBtO.

Il va s’agir dès lors de chercher à dégager des critères d’appartenance ou de non-appartenance à une classe d’équivalence donnée, à défaut de pouvoir toujours donner une description explicite de ces classes. La présentation adoptée ici fait libre usage du langage des groupes opérant, chaque classe étant une orbite sous l’action du groupe adéquat à la situation.

  • Pour la similitude, deux aspects sont à prendre en compte.

Un aspect classique consiste, une fois choisie une matrice A d’ordre n à coefficients dans le corps , à trouver dans sa classe de similitude une matrice ayant une forme simple (diagonale, quand c’est possible, ou, à défaut, tridiagonale ou triangulaire, etc.), et l’on dit alors la réduire, puis trouver un élément du groupe linéaire GL(n, ) qui « transporte » A vers sa forme simple considérée, et l’on parle alors de matrice de passage. Cela correspond, pour l’endomorphisme de canoniquement associé à A, à un changement de base.

Le deuxième aspect, qui se développe actuellement aux côtés du premier, consiste en l’examen, pour une matrice donnée A, de la géométrie de sa classe de similitude regardée comme un tout, mais aussi de la géométrie de l’ensemble de toutes les classes de similitude, c’est-à-dire l’espace des orbites.

  • L’étude de la réduction soulève de nombreux problèmes d’algorithmique ou d’approximation, dus essentiellement au fait que le calcul des valeurs propres passe, dans un premier temps, par le calcul d’un déterminant à coefficients polynomiaux (le polynôme caractéristique) et dans un second temps par le « calcul » de ses racines. Des résolutions de systèmes linéaires et des inversions de matrices sont également à prendre en considération. C’est la réduction des endomorphismes « effective ».

Enfin, le chapitre de la réduction s’articule sur le chapitre de la réduction des formes quadratiques (la relation de congruence pour les matrices symétriques). C’est le problème de la réduction des opérateurs symétriques dans les espaces euclidiens ou, plus généralement, des opérateurs normaux dans les espaces hermitiens. Similitude et congruence dépendent différemment de la nature du corps de base. La réduction des endomorphismes fait peu intervenir la nature du corps (polynôme caractéristique scindé ou pas) alors que la congruence et les résultats qui s’y rattachent dépendent énormément de l’arithmétique du corps. On se contentera, sauf exception, de regarder la similitude dans les cas de et de .

  • Quelques applications classiques, en physique ou ailleurs, de la similitude devraient être ici évoquées. Les axes d’inertie d’un solide ou les états propres d’un système de masses avec ressorts illustrent les idées subtiles de la théorie mais ne sont pas des exemples fondamentaux d’application ; on se limitera en fait à l’exemple des ressorts de Trubowitz. On laissera également de côté l’intervention de la réduction dans la théorie de Fuchs. Enfin, on se doit d’indiquer que l’étude des systèmes dynamiques et de la nature de leurs points d’équilibre (pendule, circuit RLC, ressort avec frottements, etc.), étude qui se fait au niveau du système linéaire associé, dépend largement de la réduction des endomorphismes et, notamment, des signes des parties réelles des valeurs propres de la matrice associée.

Nota :

on pourra se reporter en bibliographie aux références , et .

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DOI (Digital Object Identifier)

https://doi.org/10.51257/a-v1-af87


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BIBLIOGRAPHIE

  • (1) - ADKINS (A.), WEINTRAUB (S.) -   Algebra. An Introduction via module Theory,  -  Springer 1992. ISBN 0-387-97839-9.

  • (2) - CHAMBADAL (L.), OVAERT (J.-L.) -   Algèbre linéaire et algèbre tensorielle  -  , Dunod 1968.

  • (3) - FRENEL (J.) -   Algèbre des matrices,  -  Hermann 1997. ISBN 2-7056-1439-7.

  • (4) - GLAZMAN (I.), LIUBITCH (Y.) -   Analyse linéaire dans les espaces de dimensions finies,  -  Éditions Mir 1974.

  • (5) - GOBLOT (R.) -   Algèbre linéaire,  -  Scientifika 1994. ISBN 2-909894-49-5.

  • (6) - HORN (R.), JOHNSON (C.) -   Topics in matrix analysis,  -  Cambridge University Press 1991. ISBN 0-521-46713-6.

  • ...

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