Calcul matriciel

De très nombreux problèmes issus des mathématiques ou de leurs applications conduisent à l’étude (et à la résolution) de systèmes d’équations linéaires. Le système (S) :

(où les inconnues sont les nombres $x_1,\dots ,\mathrm{\hspace{0.17em}}{x}_p$ et où les nombres a_ij et b_i sont donnés dans $\mathbb{K}$ ) se note aussi, sous forme matricielle :

ou de façon plus ramassée :

(cette égalité ne signifiant rien d’autre que les n égalités du système (S)).

L’exemple ci-après illustre cette situation.

Considérons l’équation différentielle y’’ + q (x) y = f (x), que l’on retrouve en résistance des matériaux avec des conditions aux limites de la forme y (a) = A, y (b) = B, les fonctions q et f étant continues sur [a, b]. Ce problème aux limites admet une solution unique y, dont on peut chercher des approximations de la façon suivante. On établit un maillage du segment [a, b] en subdivisant celui-ci en n + 1 sous-segments égaux dont les extrémités sont notées a = x₀, x₁, …, x_n, x_n + 1 = b. On sait, d’après la formule de Taylor, que :

Donc une valeur approchée de y’’(x) est (par addition) :

Ici, on prendra donc $h=\frac{b-a}{n+1}$ et il vient :

L’équation différentielle y’’ + q (x) y = f (x) donne ainsi, lorsqu’on l’écrit aux point x₁, x₂, …, x_n du maillage :

En fait, vu l’approximation faite sur y’’, on n’obtient pas les nombres y (x_i) mais des valeurs approchées y_i de ceux-ci. Et les équations précédentes s’écrivent matriciellement :

On est ainsi ramené à résoudre un système d’équations linéaires (de grande taille dans les applications pratiques).

Dans cet article, on se propose d’étudier la notion de matrice afin d’être à même, notamment, d’étudier des systèmes d’équations linéaires du type précédent, mais aussi des systèmes d’équations différentielles que l’on peut rencontrer en physique lorsque des oscillateurs sont couplés, ou en cinétique chimique, etc., et d’autres problèmes plus fins intervenant dans toutes les applications des mathématiques.