Dualité
La méthode du gradient proximé

Notations. $\mathcal{H}$ , $\mathcal{G}$ et ${\mathcal{G}}_k$ désignent des espaces euclidiens, à savoir des espaces hilbertiens réels de dimension finie. On note $\langle \cdot |\cdot \rangle$ leur produit scalaire et $\Vert \cdot \Vert$ la norme associée. Une fonction $f:\mathcal{H}\to \left]\text{–}\infty ,\text{+}\infty \right]$ est propre si $\text{dom}f\text{=}\left\{x\in \mathcal{H}|f\left(x\right)\text{<}\text{+}\infty \right\}\ne \varnothing$ . La classe des fonctions semi-continues inférieurement, convexes et propres de $\mathcal{H}$ dans $\left]\text{–}\infty ,\text{+}\infty \right]$ se note ${\Gamma }_0\left(\mathcal{H}\right)$ . Enfin, $\text{ir}C$ désigne l’intérieur relatif d’une partie convexe $C\subset \mathcal{H}$ , i.e. l’intérieur de C en tant que sous-ensemble du plus petit espace affine qui contient C.

Le thème central de cet article est le problème de minimisation convexe suivant, qui sous-tend une multitude de formulations variationnelles en mathématiques appliquées et dans les sciences de l’ingénieur.

La méthode du gradient proximé s’inscrit dans la classe des méthodes d’éclatement, qui visent à décomposer un problème en composantes élémentaires faciles à activer individuellement dans un algorithme . Dans le cas du problème 1, il s’agit d’activer la fonction f via son opérateur de proximité et la fonction g, qui est lisse, via son gradient. Ainsi, la méthode du gradient proximé alterne un pas de gradient sur g et un pas proximal sur f.

On fournit dans la section 1 quelques résultats essentiels sur les fonctions convexes. La méthode du gradient proximé est décrite dans la section 2, qui couvre également ses principales propriétés asymptotiques. Diverses applications de la méthode sont décrites dans la section 3. La section 4 sur la version duale de la méthode du gradient proximé et la section 5 sur sa version multivariée ouvrent de nouveaux champs d’application. On récapitule dans la section 6 les points principaux de cette synthèse.