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Introduction au parallélisme et aux architectures parallèlesArticle de référence | Réf : AF485 v1
Auteur(s) : Robert CABANE
Date de publication : 10 oct. 1998
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Calcul de fonctions de matricesCet article fait partie de l’offre
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Ce paragraphe introduit des méthodes de nature géométrique pour résoudre les problèmes d’équations linéaires, tant d’un point de vue exact qu’approché (à travers le concept de pseudo-solutions). Les méthodes de Jacobi, de la bissection et du QR itéré sont destinées au calcul des valeurs propres et figurent dans un autre article.
Nous considérerons un espace vectoriel E euclidien réel ou complexe de dimension n, c‘est-à-dire, un espace vectoriel muni d’un produit scalaire et de la norme qui s’en déduit. Nous noterons (x½y) le produit scalaire de deux vecteurs x et y et
la norme d’un vecteur x (c’est en fait N2(x )). Si une base orthonormale (e1 ,..., en) de E est disponible, le produit scalaire se calcule comme
, et matriciellement cela s’écrit (x½y) = X *Y, X* désignant la matrice conjuguée de la transposée de X (elle a une seule ligne ici).
4.1.1 Principe des projections orthogonales
Soit un sous-espace vectoriel F de E. Définissons le sous-espace orthogonal (ou polaire)
de F dans E comme l’ensemble des vecteurs orthogonaux à tous les vecteurs de F.
Rappelons que la distance d (x, F) d’un élément x de E à F est, par définition, la borne inférieure des distances d (x, z) lorsque z décrit F.
Théorème de la projection orthogonale. Soit un sous-espace vectoriel F de dimension finie p de E....
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