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Introduction au parallélisme et aux architectures parallèlesArticle de référence | Réf : AF485 v1
Auteur(s) : Robert CABANE
Date de publication : 10 oct. 1998
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Calcul de fonctions de matricesCet article fait partie de l’offre
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Ce paragraphe décrit très brièvement les méthodes spécifiques pour traiter les problèmes de grande taille mais avec peu d’inconnues chaque équation.
5.1 Problèmes de grande taille en algèbre linéaire
Les problèmes obtenus par discrétisation d’équations aux dérivées partielles engendrent facilement des matrices de taille gigantesque. Par exemple, la discrétisation de l’équation de la chaleur en dimension 3 sur un parallélépipède [0, 1]3 nécessite de découper le domaine suivant trois directions ; si on prend comme inconnues la température en chacun des points du cube discrétisé, on a N 3 inconnues si chaque côté du cube est discrétisé en N points. On aura aussi autant d’équations (linéaires) en écrivant les approximations discrètes du laplacien et des dérivées partielles, ainsi que les conditions aux limites. Une discrétisation avec 100 points par axe entraînera un système de 106 équations avec 106 inconnues, donc pourvu d’une matrice ayant 1012 coefficients. Une telle matrice n’est pas représentable dans la mémoire d’un ordinateur. Cependant, la plupart des coefficients de cette matrice sont nuls, puisque chaque équation ne comporte que 6 ou 7 termes au plus. De telles matrices sont dites « creuses ».
Il faut donc se pencher sur le mode de représentation des matrices creuses, et sur l’influence de ces modes de représentation sur le choix des algorithmes.
HAUT DE PAGE5.2 Modes de représentation d’une matrice creuse
Une matrice creuse a généralement très peu de coefficients non nuls. On peut stocker ceux-ci dans un tableau ou une liste contenant l’information sur la position et la valeur du coefficient. Cependant, une telle représentation peut être inefficace lorsqu’il s’agit de modifier quelques coefficients de la matrice. Lorsqu’il faut économiser beaucoup de place, une structure de liste chaînée peut convenir : on représente, pour chaque ligne de la matrice, les coefficients non nuls avec une information permettant de passer au coefficient suivant.
On peut aussi représenter la matrice en se basant sur la connaissance...
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