Techniques inverses et estimation de paramètres. Partie 1

Auteur(s) : Daniel PETIT, Denis MAILLET

Relu et validé le 21 oct. 2019 | Read in English

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Sommaire
Médias

Présentation

1 - Contexte

2 - Problèmes inverses et terminologie

2.1 - Système physique, modèle, problème direct, problèmes inverses
2.2 - Comment « faire coller » modèle et mesures ?

Figure 8 - Minimisation d'un écart
2.3 - Outil important : coefficients de sensibilité

Figure 9 - Problèmes direct et inverse
2.4 - Différents types de problèmes inverses

Figure 10 - Réduction de modèle Figure 11 - Identification de modèle

3 - Inversion d'un modèle linéaire : cas de l'estimation en dimensions finies

3.1 - Résolution du problème des moindres carrés ordinaires
3.2 - Estimation linéaire, aspects aléatoires

Figure 13 - Droite des moindres carrés

4 - Inversion d'un modèle non linéaire

4.1 - Spécificité de l'estimation non linéaire
4.2 - Généralités sur les méthodes de descente
4.3 - Gradient, Hessien en fonction des coefficients de sensibilité
4.4 - Méthodes de Gauss-Newton et de Levenberg-Marquardt

Présentation

RÉSUMÉ

Les techniques inverses sont définies comme des méthodes permettant de découvrir des causes et des grandeurs inconnues, et ce grâce à l’observation des conséquences d’un problème. Elles sont appelée ainsi en opposition aux techniques dites “directes”. La terminologie est tout d’abord détaillée, puis les problèmes inverses sont expliqués. Le point de vue de l’inverseur est envisagé afin d’étudier les différentes techniques inverses (inversion d’un modèle linéaire puis inversion d'un modèle non linéaire).

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Auteur(s)

Daniel PETIT : Professeur à l'École nationale supérieure de mécanique et d'aérotechnique ENSMA - Laboratoire d'Études Thermiques LET, UMR CNRS 6608
Denis MAILLET : Professeur à l'Institut national polytechnique de Lorraine INPL - Laboratoire d'énergétique et de mécanique théorique et appliquée LEMTA, Nancy Université & CNRS

INTRODUCTION

On définit les techniques inverses comme des méthodes permettant de remonter à des causes ou à des grandeurs d'influence inconnues à partir de l'observation de leurs conséquences. Par leur appellation, elles s'opposent aux méthodes « directes ».

Il est possible d'illustrer la différence entre méthode directe et méthode inverse en prenant un exemple en mécanique : on sait calculer la vitesse à un instant quelconque d'un point matériel de masse m soumis à une force connue si ses position et vitesse initiales sont données (c'est le problème direct). Un des problèmes inverses correspondant s'énonce ainsi : à partir de la mesure des positions (ou des vitesses) de ce point matériel, comment « remonter » à la force qui l'a mis en mouvement ?

Ces méthodes de résolution des problèmes inverses et leurs applications sont actuellement en plein développement dans différents secteurs de la physique. Des outils génériques existent, transverses à tous les domaines, ainsi que des méthodologies appropriées, qui vont au-delà du seul formalisme mathématique. Celles-ci permettent de revisiter la relation expérience-modèle.

Nous allons aborder ici les techniques inverses en adoptant le point de vue de l'objectif de l' inverseur. En effet, c'est celui-ci qui va dicter sa démarche. Cette approche a été développée dans la communauté des thermiciens, voir notamment les travaux [8] [9] du Groupe METTI de la Société Française de Thermique.

Ces techniques inverses font l'objet de deux dossiers [AF 4 515] et [AF 4 516] qui ne sont pas indépendants l'un de l'autre. Le lecteur trouvera en [Doc. AF 4 516] les références bibliographiques.

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