Bibliographie & annexes
Présentation
RÉSUMÉ
Les techniques inverses sont définies comme des méthodes permettant de découvrir des causes et des grandeurs inconnues, et ce grâce à l’observation des conséquences d’un problème. Elles sont appelée ainsi en opposition aux techniques dites “directes”. La terminologie est tout d’abord détaillée, puis les problèmes inverses sont expliqués. Le point de vue de l’inverseur est envisagé afin d’étudier les différentes techniques inverses (inversion d’un modèle linéaire puis inversion d'un modèle non linéaire).
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Through the observation of the consequences of a problem, inverse methods are defined as methods which allow for discovering causes and unknown measurable variables. They are thus named in opposition to the so called "direct" methods. The terminology is firstly detailed and inverse problems are then explained. The point of view of the user of the inverse method is then envisaged in order to study the various inverse methods (linear-model inversion and non-linear model inversion).
Auteur(s)
-
Daniel PETIT : Professeur à l'École nationale supérieure de mécanique et d'aérotechnique ENSMA - Laboratoire d'Études Thermiques LET, UMR CNRS 6608
-
Denis MAILLET : Professeur à l'Institut national polytechnique de Lorraine INPL - Laboratoire d'énergétique et de mécanique théorique et appliquée LEMTA, Nancy Université & CNRS
INTRODUCTION
On définit les techniques inverses comme des méthodes permettant de remonter à des causes ou à des grandeurs d'influence inconnues à partir de l'observation de leurs conséquences. Par leur appellation, elles s'opposent aux méthodes « directes ».
Il est possible d'illustrer la différence entre méthode directe et méthode inverse en prenant un exemple en mécanique : on sait calculer la vitesse à un instant quelconque d'un point matériel de masse m soumis à une force connue si ses position et vitesse initiales sont données (c'est le problème direct). Un des problèmes inverses correspondant s'énonce ainsi : à partir de la mesure des positions (ou des vitesses) de ce point matériel, comment « remonter » à la force qui l'a mis en mouvement ?
Ces méthodes de résolution des problèmes inverses et leurs applications sont actuellement en plein développement dans différents secteurs de la physique. Des outils génériques existent, transverses à tous les domaines, ainsi que des méthodologies appropriées, qui vont au-delà du seul formalisme mathématique. Celles-ci permettent de revisiter la relation expérience-modèle.
Nous allons aborder ici les techniques inverses en adoptant le point de vue de l'objectif de l' inverseur. En effet, c'est celui-ci qui va dicter sa démarche. Cette approche a été développée dans la communauté des thermiciens, voir notamment les travaux [8] Techniques inverses et estimation de paramètres[9] du Groupe METTI de la Société Française de Thermique.
Ces techniques inverses font l'objet de deux dossiers [AF 4 515] et Techniques inverses et estimation de paramètres. Partie 2[AF 4 516] qui ne sont pas indépendants l'un de l'autre. Le lecteur trouvera en [Doc. AF 4 516] les références bibliographiques.
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Inversion d'un modèle non linéaire3. Inversion d'un modèle linéaire : cas de l'estimation en dimensions finies
3.1 Résolution du problème des moindres carrés ordinaires
Lorsque l'on dispose de n mesures rangées dans un vecteur y, sujettes à une erreur de mesure
et que le modèle est linéaire, on peut écrire vectoriellement :
( 23 )
avec :
- x;* :
- valeur exacte mais inconnue du vecteur-paramètre x.
Le problème d'estimation paramétrique consiste à estimer les n paramètres du vecteur x à partir de ces m mesures. Évidemment, il faut que le nombre de mesures, c'est-à-dire le nombre de données m, soit supérieur ou égal au nombre d'inconnues n. Dans ce cas, il est généralement possible de déterminer une estimation
de ce vecteur. Comme il existe une erreur
sur y, il en est de même pour
qui est différent de x*.
L'estimateur des moindres carrés ordinaires
est le vecteur xopt (équation (14), qui minimise la quantité J MCO (x;;) (équation ...
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