Article

1 - PROBLÈMES INVERSES BIEN OU MAL POSÉS ET OUTILS DE DIAGNOSTIC

2 - COMMENT OBTENIR UNE INVERSION DE QUALITÉ ?

3 - RÉGULARISATION ET OUTILS

4 - RÉDUCTION DE MODÈLE PAR IDENTIFICATION. CAS LINÉAIRE

  • 4.1 - Choix d'une structure du modèle réduit : représentation d'état sous forme modale
  • 4.2 - Décomposition du modèle réduit en modèles réduits élémentaires (MRE)
  • 4.3 - Identification des modèles réduits élémentaires (MRE)
  • 4.4 - Reconstitution du modèle réduit identifié
  • 4.5 - Quand et pourquoi utiliser un modèle réduit ?

5 - ESTIMATION D'ENTRÉES À PARTIR D'UNE REPRÉSENTATION D'ÉTAT RÉDUITE

  • 5.1 - Procédure séquentielle
  • 5.2 - Utilisation de pas de temps futurs

Article de référence | Réf : AF4516 v1

Techniques inverses et estimation de paramètres. Partie 2

Auteur(s) : Daniel PETIT, Denis MAILLET

Relu et validé le 21 oct. 2019

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RÉSUMÉ

Cet article recense les problèmes inverses, bien ou mal posés, ainsi que les outils nécessaires à leur diagnostic (conditionnement et covariance, test d’inversion, influence du nombre de mesures, etc.). Grâce à la mise en évidence de six causes possibles d’erreur d’estimation, il est expliqué comment obtenir une inversion de qualité. Ensuite, quelques méthodes populaires de régularisation sont présentées et comparées. Par la suite, c’est une méthode particulière de réduction de modèle par identification qui est proposée. A l’aide d’un cas linéaire, le choix de la structure du modèle réduit, sa décomposition, son identification, sa reconstitution et son utilité sont finalement abordés.

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ABSTRACT

Inverse techniques and parameter estimation Part 2

This article lists the inverse problems, be they well- or ill-posed, as well as the necessary tools for their diagnosis (conditioning and covariance, inversion test, influence of the number of measurements, etc.). By identifying six possible causes of estimation errors, the means to obtain a satisfactory inversion are explained. After having presented and compared certain popular regularization methods, this article offers a specific method of model reduction by identification. To conclude, the choice of the structure of a reduced model, its decomposition, identification, reconstitution and usefulness are dealt with via a linear case.

Auteur(s)

  • Daniel PETIT : Professeur à l'École nationale supérieure de mécanique et d'aérotechnique ENSMA - Laboratoire d'Études Thermiques LET, UMR CNRS 6608

  • Denis MAILLET : Professeur à l'Institut national polytechnique de Lorraine INPL - Laboratoire d'énergétique et de mécanique théorique et appliquée LEMTA, Nancy Université & CNRS

INTRODUCTION

Cans le précédent dossier [AF 4 515], le contexte de la mise en œuvre des techniques inverses a été présenté, en termes d'objectifs de l'utilisateur et de méthodologies correspondantes. Le problème de l'estimation de paramètres, ou de l'estimation d'une fonction préalablement paramétrisée, d'un modèle dynamique linéraire a été étudié. L'accent a été mis sur les notions de coefficients de sensibilité et de propagation du bruit de mesure considéré comme la réalisation d'une variable aléatoire. Enfin, nous avons traité le même type de problème d'inversion de mesures dans le cas d'un modèle non linéaire, mais toujours en dimensions finies. Différentes méthodes performantes de minimisation d'un critère d'écart, basées sur les coefficients de sensibilité, ont été présentées.

Dans ce dossier, nous revenons tout d'abord sur les notions de problème inverse bien ou mal posé , en dégageant des approches et des outils destinés à mieux caractériser cet aspect de l'inversion. Cela passe par une nécessaire quantification du degré de gravité de ce caractère (« mauvaise pose ») à l'aide de l'adoption d'un ou plusieurs critères. Nous mettons ensuite en évidence six causes possibles d'erreur d'estimation. Ces causes dépassent le seul aspect mathématique du problème considéré. Des outils de diagnostic de la qualité de l'inversion sont alors proposés.

La notion de régularisation d'un problème inverse mal posé , avec le nécessaire compromis entre dispersion et biais de l'estimateur, est ensuite introduite. Quelques méthodes populaires de régularisation sont alors présentées. Elles sont appliquées et comparées sur un même exemple.

Nous introduisons également l'approche bayésienne, permettant l'apport d'informations additionnelles externes plus ou moins précises à l'inversion de mesures. Enfin une méthode particulière de réduction de modèle par identification est ensuite présentée. Elle s'appuie sur des données d'entrées et de sorties obtenues soit par des mesures, soit par des simulations issues d'un modèle détaillé de référence. Le premier cas correspond à la construction expérimentale de modèle, procédure qui peut s'apparenter à la calibration d'un système. Le second cas correspond à la mise en œuvre d'une technique de réduction de modèle qui s'appuie sur un principe de parcimonie permettant de relier de façon synthétique uniquement les entrées et les sorties utiles. Dans les deux cas, le modèle réduit construit peut être ensuite utilisé pour estimer des entrées à partir de sorties.

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DOI (Digital Object Identifier)

https://doi.org/10.51257/a-v1-af4516


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BIBLIOGRAPHIE

  • (1) - DEMOMENT (G.), IDIER (J.) , GIOVANNELLI (J.-F.), MOHAMMAD-DJAFARI (A.)  -   Problèmes inverses en traitement du signal et de l'image.  -  Éditions techniques de l'ingénieur, Traitement du signal et ses applications [TE 5 235] (2001).

  • (2) - POIRIER (J.) -   Estimateurs et tests d'hypothèses.  -  Éditions techniques de l'ingénieur, Mesures Généralités [R 250] (1992).

  • (3) - TIKHONOV (A.), ARSENINE (V.)  -   Méthode de résolution des problèmes malposés.  -  Éditions de Moscou (1976).

  • (4) - BECK (J.V.), ARNOLD (K.J.)  -   Parameter Estimation in Engineering and Science,  -  Wiley, New York, 501 p. (1977) (épuisé, mais des copies reliées spirales peuvent être distribuées directement par J.V. Beck ([email protected]).

  • (5) - BECK (J.V.), BLACKWELL (B.) , ST-CLAIR Jr. (C.R.) -   Inverse Heat Conduction –ill-Posed Problems.  -  Wiley, New York, 308 p. (1985) (épuisé, mais des copies reliées spirales peuvent être distribuées directement par J.V. Beck...

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